Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.
Sijų atramų reakcijos
Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d
Metodas
Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.
Santvara: mazgų metodas
Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas
Metodas
Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.
Rėmai ir mechanizmai
Kiekvieno strypo pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas
jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga
vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis
F = √(Fx² + Fy²)
Svertas, replės, kampinis svertas
Fin·a = Fout·b
Alkūninis mechanizmas
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Metodas
Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.
Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8
Metodas
Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.
Svorio centras ir inercijos momentas
Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Uždaviniai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis
Raskite vektorių a = (−5, −3, 5) ir b = (−7, −7, 0) skaliarinę sandaugą a·b.
a = (−5, −3, 5)b = (−7, −7, 0)
a·b =
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus
Vienetinis vektorius n̂ statmenas abiem vektoriams a = (3, 5, 5) ir b = (1, 1, 4) ir turi teigiamą z komponentę. Raskite jo x komponentę n̂x.
a = (3, 5, 5)b = (1, 1, 4)n̂z > 0
n̂x =
3.Sijų atramų reakcijosVidutinis
Sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, esančią 7 m atstumu nuo A, o už B tęsiasi konsolė iki laisvojo galo C. Raskite vertikaliąją reakciją RA, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.
AB = 7 mAC = 10 mP1 = 80 kN ties 6 mP2 = 50 kN ties 10 m
RA = kN
4.Sijų atramų reakcijosSunkus
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. 4 m atstumu nuo A veikia apkrova P, pasvirusi 45° kampu į horizontalę, o 0,5 m atstumu nuo A – vertikalioji apkrova Q. Raskite kampą α tarp suminės reakcijos jėgos šarnyre A ir horizontalės.
L = 5 mP = 75 kN ties 4 m, θ = 45°Q = 45 kN ties 0,5 m
α = °
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
Mazgų metodu raskite jėgą FAB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.
tarpatramis = 4 maukštis = 3 mB yra 3 m nuo Avertikalioji apkrova = 15 kN
tarpatramis = 4 maukštis = 3 mB yra 3 m nuo Avertikalioji apkrova = 10 kNhorizontalioji apkrova = 30 kN ←
FBC = kN
7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis
Parodytame alkūniniame spaustuve dvi vienodos jungtys AB ir BC sujungtos šarnyru B, ir kiekviena su tiese AC sudaro 8° kampą. Taške B veikia žemyn nukreipta 250 N jėga. Slankiklis C spaudžia ruošinį. Nepaisydami trinties ir svorių, raskite horizontaliąją spaudimo jėgą Q.
F = 250 Nθ = 8°
Q = N
8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus
Tolygi horizontali strėlė AB, sverianti 2 kN, šarnyru pritvirtinta prie sienos taške A ir laikoma lyno nuo galo B iki sienos taško C, 1,5 m virš A. Taške B kabo 6 kN apkrova. Raskite lyno įtempimą T.
W = 6 kNWb = 2 kNAB = 2,5 mAC = 1,5 m
T = kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.
10 kN @ 1 m50 kN @ 3 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 1 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.
L = 4 mP = 30 kN ties 1 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 4 mx = 1 m
Mx = kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
Lovinis skerspjūvis atvira puse į viršų: 120 mm pločio pagrindo plokštė su dviem vertikaliomis lentynomis, bendrasis aukštis 200 mm. Pagrindo ir lentynų storis vienodas – 14 mm. Raskite svorio centro aukštį ȳ virš apatinės kraštinės.
b = 120 mmh = 200 mmt = 14 mm
ȳ = mm
12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
Suvirinto dvitėjo skerspjūvio viršutinė lentyna yra 200 × 24 mm, sienelė 150 mm aukščio ir 16 mm storio, o apatinė lentyna 230 × 24 mm (plotis × storis). Raskite jo inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
viršutinė lentyna: 200 × 24 mmsienelė: 16 × 150 mmapatinė lentyna: 230 × 24 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Tirpalai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: a·b = 56
Skaliarinė sandauga:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, skaliaras. Ji duoda kampą tarp dviejų vektorių, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ir lygi nuliui, kai vektoriai statmeni. Skaliarinė a projekcija į b yra a·b/|b|, o pastovi jėga F, poslinkiu d atliekanti darbą, atlieka darbą W = F·d.
Vektorinė sandauga:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) yra statmena abiem vektoriams, o |a × b| = |a|·|b|·sin θ yra jų sudaryto lygiagretainio plotas (trikampio plotas yra pusė jo). Eilės tvarka svarbi: b × a = −(a × b). Jėgos F, veikiančios taške A, momentas taško O atžvilgiu yra MO = r × F, kur r = A − O.
Vektorinė sandauga
(a × b)x = aybz − azby = 5·4 − 5·1 = 15
(a × b)y = azbx − axbz = 5·1 − 3·4 = −7
(a × b)z = axby − aybx = 3·1 − 5·1 = −2
Normalizuokite
a × b z komponentė neigiama, todėl naudokite −(a × b).
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.
Momentai A atžvilgiu
Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.
ΣMA = 0: RB·7 = 80·6 + 50·10
RB = 980/7 = 140 kN
Vertikalioji pusiausvyra
RA = 80 + 50 − 140 = −10 kN
Atsakymas
RA = −10 kN
RA neigiama: šarnyras A turi prilaikyti siją, kad ši nepakiltų.
4.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: α = 43,94 °
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.
P dedamosios
Pv = 75·sin 45° = 53,03 kN
Ph = 75·cos 45° = 53,03 kN
Reakcijos
ΣMA = 0: RB·5 = 53,03·4 + 45·0,5 → RB = 46,93 kN
Ay = 53,03 + 45 − 46,93 = 51,11 kN
Ax = Ph = 53,03 kN
Kryptis ties A
α = atan(Ay/Ax) = atan(51,11/53,03) = 43,94°
Atsakymas
α = 43,94°
5.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: FAB = −5,303 kN
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·4 = 15·3 → Cy = 11,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 11,25 = 3,75 kN
Mazgas A
Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.
sin α = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −3,75/0,7071 = −5,303 kN
Atsakymas
FAB = −5,303 kN (gniuždymas)
6.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: FBC = 15,81 kN
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·4 = 10·3 − 30·3 → Cy = −15 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − −15 = 25 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN
Mazgas C
Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.
sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
Mechanizmai: replės, svertai, jungčių sistemos ir spaustuvai įėjimo jėgą paverčia didesne ar kitos krypties išėjimo jėga. Vieną dalį nubraižykite kaip laisvąjį kūną ir imkite momentus jos sukimosi ašies atžvilgiu: šarnyro jėga iškrenta, o Fin·a = Fout·b duoda mechaninį išlošį a/b. Šarnyro jėgą tada gaunate iš ΣF = 0 tai pačiai daliai. Alkūniniame mechanizme dvi jungtys susitinka mažu kampu θ; kiekviena jungtis yra dviejų jėgų strypas, todėl maža jėga F sandūroje sukuria dideles jungčių jėgas F/(2 sin θ) ir spaudimo jėgą F/(2 tan θ).
Šarnyro B pusiausvyra
2·Flink·sin 8° = 250
Flink = 898,2 N
Spaudimo jėga
Q = Flink·cos 8° = 250/(2·tan 8°) = 889,4 N
Atsakymas
Q = 889,4 N
Jėgų santykis Q/F = 3,558 auga neribotai, jungtims tiesėjant.
8.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: T = 13,61 kN
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Lyno kampas
BC = √(2,5² + 1,5²) = 2,915 m, sin β = 0,5145
Momentai A atžvilgiu
T·0,5145·2,5 = 6·2,5 + 2·1,25
T = 13,61 kN
Atsakymas
T = 13,61 kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: D (x = 3 m)
Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.
Atramų reakcijos
Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.
R1 = 33,33 kN, R2 = 26,67 kN
Lenkimo momentas ties kiekviena žyme
Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.
MA = 0, MB = 33,33, MC = 56,67, MD = 80 kN·m, ME = 53,33, MF = 26,67, MG = 0
Atsakymas
Žymė D: MD = 80 kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Mx = 37,5 kN·m
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.
Atramų reakcijos
Visos sijos pusiausvyra.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, veikianti taške x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 30·1 + 10·4·2
RB = 110/4 = 27,5 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 27,5 = 42,5 kN
Perpjaukite ties x = 1 m ir palikite kairiąją dalį
Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.
M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 42,5·1 − 10·1·0,5 = 37,5 kN·m
Atsakymas
Mx = 37,5 kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: ȳ = 82,61 mm
Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.
Padalykite į stačiakampius
Pagrindą imkite viso pločio, o dvi lentynas virš jo (aukštis h − t), kad niekas nebūtų įskaičiuota du kartus.
bazė: A1 = 120·14 = 1680 mm², y1 = 7 mm
dvi lentynos: A2 = 2·14·186 = 5208 mm², y2 = 14 + 186/2 = 107 mm
Svorio centras
ȳ = (1680·7 + 5208·107)/6888 = 82,61 mm
Atsakymas
ȳ = 82,61 mm
12.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: Ix = 82,8 × 10⁶ mm⁴
Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.
Padalykite į tris stačiakampius
Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.
viršutinė lentyna: A = 4800 mm², y = 186 mm
sienelė: A = 2400 mm², y = 99 mm
apatinė lentyna: A = 5520 mm², y = 12 mm
Svorio centras
ȳ = (4800·186 + 2400·99 + 5520·12)/12720 = 94,08 mm
Šteinerio teorema
viršutinė lentyna: 200·24³/12 + 4800·91,92² = 4,079 × 10⁷ mm⁴