Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.
Sijų atramų reakcijos
Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d
Metodas
Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.
Santvara: mazgų metodas
Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas
Metodas
Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.
Rėmai ir mechanizmai
Kiekvieno strypo pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas
jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga
vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis
F = √(Fx² + Fy²)
Svertas, replės, kampinis svertas
Fin·a = Fout·b
Alkūninis mechanizmas
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Metodas
Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.
Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8
Metodas
Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.
Svorio centras ir inercijos momentas
Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Uždaviniai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis
Pastovi jėga F = (−10, −15, 0) N veikia kūną, kuris tiesiai juda iš taško A(−5, −1, −3) į tašką B(3, 3, 0). Koordinatės pateiktos metrais. Raskite jėgos atliktą darbą W.
F = (−10, −15, 0) NA(−5, −1, −3) mB(3, 3, 0) m
W = J
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus
Vienetinis vektorius n̂ statmenas abiem vektoriams a = (−2, 2, −3) ir b = (5, −3, 2) ir turi teigiamą z komponentę. Raskite jo x komponentę n̂x.
a = (−2, 2, −3)b = (5, −3, 2)n̂z > 0
n̂x =
3.Sijų atramų reakcijosVidutinis
Laisvai atremtą siją (šarnyrinė atrama A, ritininė atrama B) veikia tiesiškai kintanti apkrova, mažėjanti nuo 20 kN/m ties A iki nulio ties B. 2 m atstumu nuo A dar veikia sutelktoji jėga P. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RA.
L = 6 mw0 = 20 kN/mP = 60 kN ties 2 m
RA = kN
4.Sijų atramų reakcijosSunkus
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RA.
L = 10 mP = 45 kN ties 8 mw = 3 kN/m nuo 6 iki 8 m
RA = kN
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
Mazgų metodu raskite jėgą FAB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.
tarpatramis = 6 maukštis = 2 mB yra 4 m nuo Avertikalioji apkrova = 20 kN
FAB = kN
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
Mazgų metodu raskite jėgą FAB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.
tarpatramis = 4 maukštis = 3 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 20 kNhorizontalioji apkrova = 25 kN →
FAB = kN
7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis
Parodytas A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 2 m. Kojos susitinka šarnyre C, 2,5 m aukštyje, o horizontalus ryšys DE yra 1 m virš žemės. Taške C veikia 12 kN apkrova. Raskite jėgos C, kuria šarnyras C veikia koją BC, didumą.
P = 12 kNAB = 2 mC aukštis = 2,5 mDE aukštis = 1 m
C = kN
8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus
Alkūninio preso dvi vienodos jungtys AB ir BC yra po 150 mm ilgio tarp šarnyrų. Šarnyras B yra 8 mm virš tiesės AC. Kokia žemyn nukreipta jėga F taške B sukuria 1000 N horizontalią spaudimo jėgą ties slankikliu C? Nepaisykite trinties ir svorių.
Q = 1000 NAB = BC = 150 mmh = 8 mm
F = N
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
Laisvai atremtą siją veikia tik jėgų pora M0 = 20 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, esanti x = 5 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą Mx iš karto kairiau jėgų poros. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.
L = 8 mM0 = 20 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, ties 5 m
Mx = kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.
55 kN @ 12 m35 kN @ 4 m10 kN/m, 0–10 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
bf = 140 mmtf = 30 mmtw = 10 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
150 mm × 200 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 30 mm pločio ir 40 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 140 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
b = 150 mmh = 200 mmiškirpimas: 30 × 40 mmskylės centras: y = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Tirpalai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: W = −140 J
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Poslinkis
d = B − A = (3, 3, 0) − (−5, −1, −3) = (8, 4, 3) m
Darbas
W = F·d = (−10)·8 + (−15)·4 + 0·3 = −140 J
Atsakymas
W = −140 J
Neigiamas darbas: jėga daugiausia veikia prieš judėjimą.
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: n̂x = 0,3928
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Vektorinė sandauga
(a × b)x = aybz − azby = 2·2 − (−3)·(−3) = −5
(a × b)y = azbx − axbz = (−3)·5 − (−2)·2 = −11
(a × b)z = axby − aybx = (−2)·(−3) − 2·5 = −4
Normalizuokite
a × b z komponentė neigiama, todėl naudokite −(a × b).
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.
Trikampės apkrovos atstojamoji
W = ½·20·6 = 60 kN
x̄ = L/3 = 2 m
Pusiausvyra
Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.
ΣMA = 0: RB·6 = 60·2 + 60·2
RB = 40 kN
RA = 120 − 40 = 80 kN
Atsakymas
RA = 80 kN
4.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RA = 10,8 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.
Laisvojo kūno diagrama
Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.
Pusiausvyra
Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 3·2 = 6 kN, veikianti taške x̄ = 7 m
ΣMA = 0: RB·10 = 45·8 + 3·2·7
RB = 402/10 = 40,2 kN
ΣFy = 0: RA = 51 − 40,2 = 10,8 kN
Atsakymas
RA = 10,8 kN
5.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: FAB = −14,91 kN
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·6 = 20·4 → Cy = 13,33 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 13,33 = 6,667 kN
Mazgas A
Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.
sin α = 2/4,472 = 0,4472
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −6,667/0,4472 = −14,91 kN
Atsakymas
FAB = −14,91 kN (gniuždymas)
6.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: FAB = 3,953 kN
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·4 = 20·1 + 25·3 → Cy = 23,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 23,75 = −3,75 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN
Mazgas A
Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.
sin α = 3/3,162 = 0,9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−3,75/0,9487 = 3,953 kN
Atsakymas
FAB = 3,953 kN (tempimas)
7.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: C = 7,211 kN
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Ryšio jėga iš kojos BC
By = 6 kN
T = 6·1/1,5 = 4 kN
Šarnyro jėgos komponentės, veikiančios BC
Cx = T = 4 kN, Cy = −By = −6 kN
Modulis
C = √(4² + 6²) = 7,211 kN
Atsakymas
C = 7,211 kN
8.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: F = 106,8 N
Mechanizmai: replės, svertai, jungčių sistemos ir spaustuvai įėjimo jėgą paverčia didesne ar kitos krypties išėjimo jėga. Vieną dalį nubraižykite kaip laisvąjį kūną ir imkite momentus jos sukimosi ašies atžvilgiu: šarnyro jėga iškrenta, o Fin·a = Fout·b duoda mechaninį išlošį a/b. Šarnyro jėgą tada gaunate iš ΣF = 0 tai pačiai daliai. Alkūniniame mechanizme dvi jungtys susitinka mažu kampu θ; kiekviena jungtis yra dviejų jėgų strypas, todėl maža jėga F sandūroje sukuria dideles jungčių jėgas F/(2 sin θ) ir spaudimo jėgą F/(2 tan θ).
Jungties kampas
sin θ = 8/150 = 0,05333, θ = 3,057°
Jungties jėga
Flink = Q/cos θ = 1001 N
Jėga taške B
F = 2·Flink·sin θ = 2·1000·tan θ = 106,8 N
Atsakymas
F = 106,8 N
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Mx = −12,5 kN·m
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Pridėta jėgų pora lenkimo momentų diagramoje sukelia šuolį, lygų poros dydžiui.
Atramų reakcijos
Momentai taško A atžvilgiu, prieš laikrodžio rodyklę teigiami: RB·L − M0 = 0. Vertikalioji pusiausvyra: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 20/8 = 2,5 kN (aukštyn)
RA = −RB = −2,5 kN (žemyn)
Pjūvis iš karto kairiau jėgų poros
Kairiojoje dalyje yra tik RA.
Mx = RA·a = −2,5·5 = −12,5 kN·m
Atsakymas
Mx = −12,5 kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: C (x = 4 m)
Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.
Atramų reakcijos
Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.
R1 = 60 kN, R2 = 130 kN
Lenkimo momentas ties kiekviena žyme
Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.
MA = 0, MB = 100, MC = 160 kN·m, MD = 110, ME = 20, MF = −110, MG = 0
Atsakymas
Žymė C: MC = 160 kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: Ix = 19,07 × 10⁶ mm⁴
Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.
Padalykite į du stačiakampius
Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.
lentyna: Af = 140·30 = 4200 mm², yf = 180 + 30/2 = 195 mm
sienelė: Aw = 10·180 = 1800 mm², yw = 180/2 = 90 mm
Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.
Svorio centras
ȳ = (30000·100 − 1200·140)/(30000 − 1200) = 98,33 mm