Statika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Modulis: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vienetinis vektorius: û = a/|a|
Komponentės pagal kampą: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Skaliarinė sandauga: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a skaliarinė projekcija į b: a·b/|b|
Darbas: W = F·d
Vektorinė sandauga: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Plotai: lygiagretainis |a × b|, trikampis ½|a × b|
Momentas taško O atžvilgiu: M_O = r × F, r = A − O
Gretasienio tūris: V = |a·(b × c)|

Metodas

Kiekvieną vektorių užrašykite komponentėmis; jėgai, pateiktai moduliu ir kampu, naudokite F·cos θ ir F·sin θ.
Ilgiams ir kryptims naudokite modulį √(x² + y² + z²) ir vienetinį vektorių a/|a|.
Skaliarinę sandaugą naudokite kampams, projekcijoms, statmenumui ir darbui: a·b = |a||b|cos θ.
Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Rėmai ir mechanizmai

Kiekvieno strypo pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas: jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga: vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis: F = √(F_x² + F_y²)
Svertas, replės, kampinis svertas: F_in·a = F_out·b
Alkūninis mechanizmas: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje

Metodas

Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Uždaviniai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis

Pastovi jėga F = (−10, −20, 10) N veikia kūną, kuris tiesiai juda iš taško A(2, 1, −5) į tašką B(2, −1, 4). Koordinatės pateiktos metrais. Raskite jėgos atliktą darbą W.

F = (−10, −20, 10) NA(2, 1, −5) mB(2, −1, 4) m

W = J

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus

Jėga F = (−60, 0, −30) N veikia taške A(3, −1, 1). Koordinatės pateiktos metrais. Raskite jėgos momento taško koordinačių pradžia O(0, 0, 0) atžvilgiu y komponentę M_y.

F = (−60, 0, −30) NA(3, −1, 1) mO(0, 0, 0) m

M_y = N·m

3.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_A.

L = 8 mP₁ = 20 kN ties 1 mP₂ = 20 kN ties 4 m

R_A = kN

4.Sijų atramų reakcijosSunkus

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_A.

L = 5 mP = 45 kN ties 3,5 mw = 10 kN/m nuo 3 iki 5 m

R_A = kN

5.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_AB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 8 maukštis = 3 mB yra 5 m nuo Avertikalioji apkrova = 15 kN

F_AB = kN

6.Santvara: mazgų metodasSunkus

Mazgų metodu raskite jėgą F_BC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 8 maukštis = 2 mB yra 3 m nuo Avertikalioji apkrova = 45 kNhorizontalioji apkrova = 25 kN →

F_BC = kN

7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis

Parodytas rėmas turi šarnyrus A, B ir C; A ir C pritvirtinti prie žemės 3 m atstumu, o B yra 2 m virš žemės ir 0,45 m į dešinę nuo A. Vertikali 8 kN apkrova veikia strypą AB taške K, 0,27 m (horizontaliai) nuo A. Raskite jėgą F_BC strype BC.

P = 8 kNL = 3 mH = 2 mhorizontalus atstumas nuo A iki B = 0,45 mhorizontalus atstumas nuo A iki K = 0,27 m

F_BC = kN

8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus

Parodyto sieninio kronšteino sija AB šarnyru pritvirtinta taške A ir paremta atspara CD (C yra 0,5 m žemiau A). Sija per visą ilgį apkrauta tolygiąja 2,5 kN/m apkrova, o laisvajame gale B – 3 kN taškine apkrova. Raskite jėgą F_CD atsparoje.

w = 2,5 kN/mP = 3 kNAD = 0,6 mAB = 1,5 mAC = 0,5 m

F_CD = kN

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 1,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mw = 2 kN/m nuo 0 iki 5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą M_max.

L = 6 mP = 10 kN ties 2 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 6 m

M_max = kN·m

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

200 mm × 240 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 60 mm pločio ir 50 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 144 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 200 mmh = 240 mmiškirpimas: 60 × 50 mmskylės centras: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Tirpalai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: W = 130 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Poslinkis

d = B − A = (2, −1, 4) − (2, 1, −5) = (0, −2, 9) m

Darbas

W = F·d = (−10)·0 + (−20)·(−2) + 10·9 = 130 J

Atsakymas

W = 130 J

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: M_y = 30 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Padėties vektorius iš O į A

r = A − O = (3, −1, 1) − (0, 0, 0) = (3, −1, 1) m

Momentas M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−1)·(−30) − 1·0 = 30 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 1·(−60) − 3·(−30) = 30 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 3·0 − (−1)·(−60) = −60 N·m

Prašoma komponentė

M_y = 30 N·m

Atsakymas

M_y = 30 N·m

3.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 27,5 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·1 + 20·4

R_B = 100/8 = 12,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 12,5 = 27,5 kN

Atsakymas

R_A = 27,5 kN

4.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 17,5 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, veikianti taške x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·3,5 + 10·2·4

R_B = 237,5/5 = 47,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 47,5 = 17,5 kN

Atsakymas

R_A = 17,5 kN

5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AB = −10,93 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 15·5 → C_y = 9,375 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 9,375 = 5,625 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 3/5,831 = 0,5145

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −5,625/0,5145 = −10,93 kN

Atsakymas

F_AB = −10,93 kN (gniuždymas)

6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_BC = −62,27 kN

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·3 + 25·2 → C_y = 23,13 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 23,13 = 21,88 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −23,13/0,3714 = −62,27 kN

Atsakymas

F_BC = −62,27 kN (gniuždymas)

7.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: F_BC = 1,167 kN

Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.

Dviejų jėgų strypas BC

BC = √(2,55² + 2²) = 3,241 m

Visas rėmas: momentai taško A atžvilgiu

Žemė stumia BC taške C išilgai CB; jos horizontalioji komponentė eina per A, momentą turi tik vertikalioji.

F_BC·(2/3,241)·3 = 8·0,27

F_BC = 1,167 kN (gniuždymas)

Atsakymas

F_BC = 1,167 kN

8.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: F_CD = 19,04 kN

Tolygiosios apkrovos atstojamoji

w·L = 2,5·1,5 = 3,75 kN ties 0,75 m

Sijos momentai taško A atžvilgiu

F_CD·0,6402·0,6 = 3,75·0,75 + 3·1,5 = 7,313 kN·m

F_CD = 19,04 kN

Atsakymas

F_CD = 19,04 kN

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 5,25 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·5·2,5

R_B = 25/5 = 5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 10 − 5 = 5 kN

Perpjaukite ties x = 1,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 5·1,5 − 2·1,5·0,75 = 5,25 kN·m

Atsakymas

M_x = 5,25 kN·m

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 37,93 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, veikianti taške x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·2 + 6·6·3

R_B = 128/6 = 21,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 46 − 21,33 = 24,67 kN

Kur V = 0?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (24,67 − 10)/6 = 2,444 m

Didžiausias momentas

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 2) − w·x₀²/2 = 37,93 kN·m

Atsakymas

M_max = 37,93 kN·m

Tai yra taške x = 2,444 m nuo A.

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 4,781 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 100 + 15/2 = 107,5 mm

sienelė: A_w = 14·100 = 1400 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·107,5 + 1400·50)/5900 = 93,86 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 300·15³/12 + 4500·(107,5 − 93,86)² = 922098 mm⁴

sienelė: 14·100³/12 + 1400·(50 − 93,86)² = 3,859 × 10⁶ mm⁴

I_x = 922098 + 3,859 × 10⁶ = 4,781 × 10⁶ mm⁴ = 4,781 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 4,781 × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 227,9 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (48000·120 − 3000·144)/(48000 − 3000) = 118,4 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

200·240³/12 + 48000·1,6² = 230,5 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

60·50³/12 + 3000·25,6² = 2,591 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 227,9 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 227,9 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics