Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.
Sijų atramų reakcijos
Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d
Metodas
Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.
Santvara: mazgų metodas
Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas
Metodas
Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.
Rėmai ir mechanizmai
Kiekvieno strypo pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas
jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga
vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis
F = √(Fx² + Fy²)
Svertas, replės, kampinis svertas
Fin·a = Fout·b
Alkūninis mechanizmas
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Metodas
Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.
Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8
Metodas
Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.
Svorio centras ir inercijos momentas
Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Uždaviniai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis
Pastovi jėga F = (25, 10, −30) N veikia kūną, kuris tiesiai juda iš taško A(−5, −4, −3) į tašką B(1, 1, −1). Koordinatės pateiktos metrais. Raskite jėgos atliktą darbą W.
F = (25, 10, −30) NA(−5, −4, −3) mB(1, 1, −1) m
W = J
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus
Raskite gretasienio, kurio briaunos iš vienos viršūnės yra a = (1, 1, 4), b = (5, −3, 5) ir c = (3, 3, 4), tūrį V.
a = (1, 1, 4)b = (5, −3, 5)c = (3, 3, 4)
V =
3.Sijų atramų reakcijosVidutinis
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 3,5 m atstumu nuo A, ir jėgų pora M (prieš laikrodžio rodyklę), esanti 2,5 m atstumu nuo A. Raskite vertikaliąją reakciją RA, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.
L = 4 mP = 40 kN ties 3,5 mM = 60 kN·m (prieš laikrodžio rodyklę) ties 2,5 m
RA = kN
4.Sijų atramų reakcijosSunkus
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RA.
Parodytas A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 3 m, jo viršūnės šarnyras C yra 3 m aukštyje, o horizontalus ryšys DE – 0,8 m virš žemės. Vertikali 20 kN apkrova veikia koją AC taške K, 0,6 m (horizontaliai) nuo A. Raskite ryšio tempimo jėgą T.
P = 20 kNAB = 3 mC aukštis = 3 mDE aukštis = 0,8 mhorizontalus atstumas nuo A iki K = 0,6 m
T = kN
8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus
Parodytas A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 4,8 m. Kojos susitinka šarnyre C, 3,6 m aukštyje, ir sujungtos horizontaliu strypu DE 2 m aukštyje. Taške C į dešinę veikia horizontali 5 kN jėga. Raskite ryšio tempimo jėgą T.
P = 5 kNAB = 4,8 mC aukštis = 3,6 mDE aukštis = 2 m
T = kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
Laisvai atremtą siją veikia tik jėgų pora M0 = 60 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, esanti x = 4,5 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą Mx iš karto dešiniau jėgų poros. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.
L = 6 mM0 = 60 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, ties 4,5 m
Mx = kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.
40 kN @ 12 m35 kN @ 2 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
Apvalaus vamzdžio išorinis skersmuo D = 260 mm, vidinis skersmuo d = 244 mm. Raskite jo inercijos spindulį r horizontaliosios centrinės ašies atžvilgiu.
D = 260 mmd = 244 mm
r = mm
12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
Ketaus sija turi pavaizduotą tėjinį skerspjūvį, lentyna viršuje. Leistinieji įtempiai: 30 MPa tempiant ir 150 MPa gniuždant. Raskite didžiausią neigiamą lenkimo momentą Mallow, kurį sija gali atlaikyti (nurodykite jo didumą).
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Poslinkis
d = B − A = (1, 1, −1) − (−5, −4, −3) = (6, 5, 2) m
Darbas
W = F·d = 25·6 + 10·5 + (−30)·2 = 140 J
Atsakymas
W = 140 J
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: V = 64
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Vektorinė sandauga b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = (−3)·4 − 5·3 = −27
(b × c)y = bzcx − bxcz = 5·3 − 5·4 = −5
(b × c)z = bxcy − bycx = 5·3 − (−3)·3 = 24
Skaliarinė sandauga su a
a·(b × c) = 1·(−27) + 1·(−5) + 4·24 = 64
V = |64| = 64
Atsakymas
V = 64
3.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RA = 20 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.
Momentai A atžvilgiu
Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.
ΣMA = 0: RB·4 − 40·3,5 + 60 = 0
RB = 80/4 = 20 kN
Vertikalioji pusiausvyra
RA = 40 − 20 = 20 kN
Atsakymas
RA = 20 kN
Neigiama reakcija nukreipta žemyn.
4.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RA = 8,5 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.
Laisvojo kūno diagrama
Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.
Pusiausvyra
Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN, veikianti taške x̄ = 1 m
ΣMA = 0: RB·4 = 10·3 + 4·2·1
RB = 38/4 = 9,5 kN
ΣFy = 0: RA = 18 − 9,5 = 8,5 kN
Atsakymas
RA = 8,5 kN
5.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: FBC = −50,91 kN
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·5 = 60·3 → Cy = 36 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 36 = 24 kN
Mazgas C
Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.
sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071
Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.
Mazgas G
FG ir GH yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Patikrinkite mazgų metodu
Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Visas rėmas: momentai taško A atžvilgiu
By = 20·0,6/3 = 4 kN
Koja BC: momentai taško C atžvilgiu
4·1,5 = T·2,2
T = 2,727 kN
Atsakymas
T = 2,727 kN
8.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: T = 5,625 kN
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Visas rėmas: momentai taško A atžvilgiu
By·4,8 = 5·3,6
By = 3,75 kN
Koja BC: momentai taško C atžvilgiu
3,75·2,4 = T·1,6
T = 5,625 kN
Atsakymas
T = 5,625 kN
Teigiamas T reiškia, kad ryšys tempiamas, kaip ir buvo daroma prielaida.
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Mx = 15 kN·m
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Pridėta jėgų pora lenkimo momentų diagramoje sukelia šuolį, lygų poros dydžiui.
Atramų reakcijos
Momentai taško A atžvilgiu, prieš laikrodžio rodyklę teigiami: RB·L − M0 = 0. Vertikalioji pusiausvyra: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 60/6 = 10 kN (aukštyn)
RA = −RB = −10 kN (žemyn)
Pjūvis iš karto dešiniau jėgų poros
Kairiojoje dalyje dabar yra RA ir jėgų pora.
Mx = RA·a + M0 = −10·4,5 + 60 = 15 kN·m
Atsakymas
Mx = 15 kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: E (x = 8 m)
Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.
Atramų reakcijos
Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.
R1 = 6,25 kN, R2 = 68,75 kN
Lenkimo momentas ties kiekviena žyme
Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.
MA = 0, MB = 12,5, MC = −45, MD = −102,5, ME = −160 kN·m, MF = −80, MG = 0
Atsakymas
Žymė E: ME = −160 kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: r = 89,14 mm
Inercijos momentas: stačiakampio inercijos momentas jo centrinės ašies atžvilgiu I = bh³/12, o pagrindo atžvilgiu bh³/3 (Šteinerio teorema I = Ic + A·d²). Angą įskaitykite atimdami jos I, jei abi dalys turi tą pačią ašį. Tamprusis atsparumo momentas S = I/c, kur c – atstumas iki kraštinio sluoksnio. Inercijos spindulys r = √(I/A) yra atstumas, kuriame sutelktas visas plotas duotų tą patį I; jis naudojamas kolonų klupumo skaičiavimuose.
Grynasis plotas ir inercijos momentas
A = π(D² − d²)/4 = 6333 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 5,033 × 10⁷ mm⁴
Inercijos spindulys
r = √(I/A) = √(5,033 × 10⁷/6333) = 89,14 mm
Atsakymas
r = 89,14 mm
12.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: Mallow = 32,22 kN·m
Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.