Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.
Sijų atramų reakcijos
Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d
Metodas
Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.
Santvara: mazgų metodas
Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas
Metodas
Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.
Rėmai ir mechanizmai
Kiekvieno strypo pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas
jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga
vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis
F = √(Fx² + Fy²)
Svertas, replės, kampinis svertas
Fin·a = Fout·b
Alkūninis mechanizmas
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Metodas
Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.
Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8
Metodas
Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.
Svorio centras ir inercijos momentas
Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Uždaviniai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis
Raskite vektorių a = (−7, 5, 2) ir b = (−3, 4, −2) skaliarinę sandaugą a·b.
a = (−7, 5, 2)b = (−3, 4, −2)
a·b =
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus
Raskite gretasienio, kurio briaunos iš vienos viršūnės yra a = (−2, −1, 4), b = (1, 5, −3) ir c = (−1, 3, −2), tūrį V.
a = (−2, −1, 4)b = (1, 5, −3)c = (−1, 3, −2)
V =
3.Sijų atramų reakcijosVidutinis
Laisvai atremtą siją (šarnyrinė atrama A, ritininė atrama B) veikia tiesiškai kintanti apkrova, mažėjanti nuo 20 kN/m ties A iki nulio ties B. 3,5 m atstumu nuo A dar veikia sutelktoji jėga P. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RA.
L = 5 mw0 = 20 kN/mP = 55 kN ties 3,5 m
RA = kN
4.Sijų atramų reakcijosSunkus
Sudėtinė sija taške A įtvirtinta sienoje, turi vidinį šarnyrą C (2 m nuo A) ir remiasi į ritininę atramą D (6 m nuo A). Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 5,5 m atstumu nuo A ir sutelktoji jėga Q, esanti 0,5 m atstumu nuo A. Raskite reakcijos momento sienoje didumą MA.
AC = 2 mAD = 6 mP = 40 kN ties 5,5 mQ = 60 kN ties 0,5 m
MA = kN·m
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.
tarpatramis = 4 maukštis = 3 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 20 kNhorizontalioji apkrova = 30 kN ←
FAC = kN
7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis
Parodytas rėmas turi šarnyrus A, B ir C; A ir C pritvirtinti prie žemės 5 m atstumu, o B yra 3 m virš žemės ir 3 m į dešinę nuo A. Vertikali 15 kN apkrova veikia strypą AB taške K, 1,8 m (horizontaliai) nuo A. Raskite jėgą FBC strype BC.
P = 15 kNL = 5 mH = 3 mhorizontalus atstumas nuo A iki B = 3 mhorizontalus atstumas nuo A iki K = 1,8 m
FBC = kN
8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus
Parodytas A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 4,8 m, jo viršūnės šarnyras C yra 3,6 m aukštyje, o horizontalus ryšys DE – 1,8 m virš žemės. Vertikali 2 kN apkrova veikia koją AC taške K, 0,6 m (horizontaliai) nuo A. Raskite jėgos C, kuria šarnyras C veikia koją BC, didumą.
P = 2 kNAB = 4,8 mC aukštis = 3,6 mDE aukštis = 1,8 mhorizontalus atstumas nuo A iki K = 0,6 m
C = kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
Raskite skersinę jėgą Vx pjūvyje x = 6 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.
L = 10 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 10 mx = 6 m
Vx = kN
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.
40 kN @ 6 m50 kN @ 2 m15 kN/m, 0–4 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
Simetriško dvitėjo skerspjūvio lentynos yra 150 mm pločio ir 20 mm storio, bendrasis aukštis 480 mm, o sienelės storis 6 mm. Raskite jo inercijos momentą Ix horizontaliosios centrinės ašies x atžvilgiu.
B = 150 mmH = 480 mmtf = 20 mmtw = 6 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 10 kN·m. Raskite lenkimo įtempio σviršus dydį viršutiniame krašte.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Vektorinė sandauga b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 5·(−2) − (−3)·3 = −1
(b × c)y = bzcx − bxcz = (−3)·(−1) − 1·(−2) = 5
(b × c)z = bxcy − bycx = 1·3 − 5·(−1) = 8
Skaliarinė sandauga su a
a·(b × c) = (−2)·(−1) + (−1)·5 + 4·8 = 29
V = |29| = 29
Atsakymas
V = 29
3.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RA = 49,83 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.
Trikampės apkrovos atstojamoji
W = ½·20·5 = 50 kN
x̄ = L/3 = 1,667 m
Pusiausvyra
Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.
ΣMA = 0: RB·5 = 50·1,667 + 55·3,5
RB = 55,17 kN
RA = 105 − 55,17 = 49,83 kN
Atsakymas
RA = 49,83 kN
4.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: MA = 40 kN·m
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties. Vidinis šarnyras negali perduoti lenkimo momento, todėl gaunama viena papildoma lygtis: bet kurios pusės jėgų momentas šarnyro atžvilgiu lygus nuliui.
Dalis CD
Šarnyre momento nėra, todėl vien dalies CD momentai taško C atžvilgiu turi būti pusiausviri.
ΣMC = 0: RD·4 = 40·3,5
RD = 35 kN
VC = 40 − 35 = 5 kN
Dalis AC
Šarnyro jėga VC dalį AC veikia žemyn (lygi ir priešinga jos poveikiui daliai CD).
RA = 60 + 5 = 65 kN
MA = 60·0,5 + 5·2 = 40 kN·m
Atsakymas
MA = 40 kN·m
5.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: elementas CG
Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.
Mazgas C
BC ir CD yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Patikrinkite mazgų metodu
Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·4 = 20·1 − 30·3 → Cy = −17,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − −17,5 = 37,5 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN
Mazgas C
Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.
sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Dviejų jėgų strypas BC
BC = √(2² + 3²) = 3,606 m
Visas rėmas: momentai taško A atžvilgiu
Žemė stumia BC taške C išilgai CB; jos horizontalioji komponentė eina per A, momentą turi tik vertikalioji.
FBC·(3/3,606)·5 = 15·1,8
FBC = 6,49 kN (gniuždymas)
Atsakymas
FBC = 6,49 kN
8.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: C = 0,4167 kN
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Atramos B reakcija
By = 2·0,6/4,8 = 0,25 kN
Ryšio jėga
T = 0,25·2,4/1,8 = 0,3333 kN
Šarnyro jėga, veikianti BC
Cx = 0,3333 kN, Cy = −0,25 kN
C = √(0,3333² + 0,25²) = 0,4167 kN
Atsakymas
C = 0,4167 kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Vx = −10 kN
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.
Atramų reakcijos
Visos sijos pusiausvyra.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, veikianti taške x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·10·5
RB = 500/10 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 50 = 50 kN
Perpjaukite ties x = 6 m ir palikite kairiąją dalį
Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.
V = RA − (visos žemyn nukreiptos apkrovos kairiau pjūvio)
Vx = 50 − 10·6 = −10 kN
Atsakymas
Vx = −10 kN
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: E (x = 4 m)
Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.
Atramų reakcijos
Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.
R1 = 35 kN, R2 = 115 kN
Lenkimo momentas ties kiekviena žyme
Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.
MA = 0, MB = 27,5, MC = 40, MD = −12,5, ME = −80 kN·m, MF = −40, MG = 0
Atsakymas
Žymė E: ME = −80 kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: Ix = 360,2 × 10⁶ mm⁴
Inercijos momentas: stačiakampio inercijos momentas jo centrinės ašies atžvilgiu I = bh³/12, o pagrindo atžvilgiu bh³/3 (Šteinerio teorema I = Ic + A·d²). Angą įskaitykite atimdami jos I, jei abi dalys turi tą pačią ašį. Tamprusis atsparumo momentas S = I/c, kur c – atstumas iki kraštinio sluoksnio.
Išorinis stačiakampis atėmus dvi šonines išpjovas
Abi išpjovos kartu yra (B − tw) pločio ir hw = H − 2tf aukščio, o jų ašis ta pati – x.
Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.
Padalykite į du stačiakampius
Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.
lentyna: Af = 200·20 = 4000 mm², yf = 300 + 20/2 = 310 mm
sienelė: Aw = 10·300 = 3000 mm², yw = 300/2 = 150 mm