Statika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Modulis: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vienetinis vektorius: û = a/|a|
Komponentės pagal kampą: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Skaliarinė sandauga: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a skaliarinė projekcija į b: a·b/|b|
Darbas: W = F·d
Vektorinė sandauga: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Plotai: lygiagretainis |a × b|, trikampis ½|a × b|
Momentas taško O atžvilgiu: M_O = r × F, r = A − O
Gretasienio tūris: V = |a·(b × c)|

Metodas

Kiekvieną vektorių užrašykite komponentėmis; jėgai, pateiktai moduliu ir kampu, naudokite F·cos θ ir F·sin θ.
Ilgiams ir kryptims naudokite modulį √(x² + y² + z²) ir vienetinį vektorių a/|a|.
Skaliarinę sandaugą naudokite kampams, projekcijoms, statmenumui ir darbui: a·b = |a||b|cos θ.
Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Rėmai ir mechanizmai

Kiekvieno strypo pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas: jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga: vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis: F = √(F_x² + F_y²)
Svertas, replės, kampinis svertas: F_in·a = F_out·b
Alkūninis mechanizmas: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje

Metodas

Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Uždaviniai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis

Raskite vektorių a = (−1, −6, 7) ir b = (6, 5, −5) skaliarinę sandaugą a·b.

a = (−1, −6, 7)b = (6, 5, −5)

a·b =

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus

Vienetinis vektorius n̂ statmenas abiem vektoriams a = (−2, 0, 1) ir b = (−1, 1, −4) ir turi teigiamą z komponentę. Raskite jo x komponentę n̂_x.

a = (−2, 0, 1)b = (−1, 1, −4)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Gembinė sija taške A įtvirtinta sienoje. Ją veikia tolygiai išskirstyta apkrova w nuo sienos iki 3,5 m ir sutelktoji jėga P, esanti 5 m atstumu nuo sienos. Raskite reakcijos momento sienoje didumą M_A.

L = 5 mP = 75 kN ties 5 mw = 8 kN/m nuo 0 iki 3,5 m

M_A = kN·m

4.Sijų atramų reakcijosSunkus

Sudėtinė sija taške A įtvirtinta sienoje, turi vidinį šarnyrą C (5 m nuo A) ir remiasi į ritininę atramą D (10 m nuo A). Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 8 m atstumu nuo A. Raskite reakcijos momento sienoje didumą M_A.

AC = 5 mAD = 10 mP = 45 kN ties 8 m

M_A = kN·m

5.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_AC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 8 maukštis = 3 mB yra 7 m nuo Avertikalioji apkrova = 25 kN

F_AC = kN

6.Santvara: mazgų metodasSunkus

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

F: 15 kN ↓F: 15 kN →

1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas BG
13elementas DG

7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis

Parodytame alkūniniame spaustuve dvi vienodos jungtys AB ir BC sujungtos šarnyru B, ir kiekviena su tiese AC sudaro 30° kampą. Taške B veikia žemyn nukreipta 150 N jėga. Slankiklis C spaudžia ruošinį. Nepaisydami trinties ir svorių, raskite horizontaliąją spaudimo jėgą Q.

F = 150 Nθ = 30°

Q = N

8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus

Parodytas A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 4,8 m, jo viršūnės šarnyras C yra 2 m aukštyje, o horizontalus ryšys DE – 0,6 m virš žemės. Vertikali 2 kN apkrova veikia koją AC taške K, 1,8 m (horizontaliai) nuo A. Raskite jėgos C, kuria šarnyras C veikia koją BC, didumą.

P = 2 kNAB = 4,8 mC aukštis = 2 mDE aukštis = 0,6 mhorizontalus atstumas nuo A iki K = 1,8 m

C = kN

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

25 kN @ 8 m60 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

15 kN @ 0 m50 kN @ 12 m40 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Lovinis skerspjūvis atvira puse į viršų: 280 mm pločio pagrindo plokštė su dviem vertikaliomis lentynomis, bendrasis aukštis 120 mm. Pagrindo ir lentynų storis vienodas – 20 mm. Raskite svorio centro aukštį ȳ virš apatinės kraštinės.

b = 280 mmh = 120 mmt = 20 mm

ȳ = mm

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Suvirinto dvitėjo skerspjūvio viršutinė lentyna yra 120 × 10 mm, sienelė 170 mm aukščio ir 8 mm storio, o apatinė lentyna 180 × 16 mm (plotis × storis). Raskite jo inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

viršutinė lentyna: 120 × 10 mmsienelė: 8 × 170 mmapatinė lentyna: 180 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Tirpalai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: a·b = −71

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Sudauginkite atitinkamas komponentes ir sudėkite

a·b = (−1)·6 + (−6)·5 + 7·(−5) = (−6) + (−30) + (−35) = −71

Atsakymas

a·b = −71

Neigiama: kampas tarp vektorių didesnis nei 90°.

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: n̂_x = 0,1078

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektorinė sandauga

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 0·(−4) − 1·1 = −1

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 1·(−1) − (−2)·(−4) = −9

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−2)·1 − 0·(−1) = −2

Normalizuokite

a × b z komponentė neigiama, todėl naudokite −(a × b).

|a × b| = √((−1)² + (−9)² + (−2)²) = 9,274

n̂ = −(−1, −9, −2)/9,274 = (0,1078, 0,9705, 0,2157)

n̂_x = 0,1078

Atsakymas

n̂_x = 0,1078

3.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: M_A = 424 kN·m

Gembės pusiausvyra: įtvirtinimas gali stumti aukštyn ir priešintis posūkiui, todėl jame atsiranda vertikalioji reakcija R_A ir reakcijos momentas M_A. ΣF_y = 0 duoda R_A, o momentai sienos atžvilgiu duoda M_A = Σ(apkrova × atstumas nuo sienos). Išskirstytoji apkrova veikia kaip jos atstojamoji apkrovos diagramos svorio centre.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji

W = 8·3,5 = 28 kN, x̄ = 1,75 m

Momentas sienos atžvilgiu

M_A = P·a + W·x̄ = 75·5 + 28·1,75 = 424 kN·m

Atsakymas

M_A = 424 kN·m

4.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: M_A = 90 kN·m

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties. Vidinis šarnyras negali perduoti lenkimo momento, todėl gaunama viena papildoma lygtis: bet kurios pusės jėgų momentas šarnyro atžvilgiu lygus nuliui.

Dalis CD

Šarnyre momento nėra, todėl vien dalies CD momentai taško C atžvilgiu turi būti pusiausviri.

ΣM_C = 0: R_D·5 = 45·3

R_D = 27 kN

V_C = 45 − 27 = 18 kN

Dalis AC

Šarnyro jėga V_C dalį AC veikia žemyn (lygi ir priešinga jos poveikiui daliai CD).

R_A = 18 = 18 kN

M_A = 18·5 = 90 kN·m

Atsakymas

M_A = 90 kN·m

5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AC = 7,292 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·7 → C_y = 21,88 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 21,88 = 3,125 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −21,88/0,9487 = −23,06 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−23,06)·0,3162 = 7,292 kN

Atsakymas

F_AC = 7,292 kN (tempimas)

6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas C

BC ir CD yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 19,69 kN (T), BC: 13,13 kN (T), CD: 13,13 kN (T), DE: 6,562 kN (T), FG: 19,69 kN (C), GH: 6,562 kN (C), AF: 7,813 kN (C), HE: 10,94 kN (C), BF: 8,75 kN (C), CG: 0, DH: 8,75 kN (T), BG: 10,94 kN (T), DG: 10,94 kN (C)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG

7.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: Q = 129,9 N

Mechanizmai: replės, svertai, jungčių sistemos ir spaustuvai įėjimo jėgą paverčia didesne ar kitos krypties išėjimo jėga. Vieną dalį nubraižykite kaip laisvąjį kūną ir imkite momentus jos sukimosi ašies atžvilgiu: šarnyro jėga iškrenta, o F_in·a = F_out·b duoda mechaninį išlošį a/b. Šarnyro jėgą tada gaunate iš ΣF = 0 tai pačiai daliai. Alkūniniame mechanizme dvi jungtys susitinka mažu kampu θ; kiekviena jungtis yra dviejų jėgų strypas, todėl maža jėga F sandūroje sukuria dideles jungčių jėgas F/(2 sin θ) ir spaudimo jėgą F/(2 tan θ).

Šarnyro B pusiausvyra

2·F_link·sin 30° = 150

F_link = 150 N

Spaudimo jėga

Q = F_link·cos 30° = 150/(2·tan 30°) = 129,9 N

Atsakymas

Q = 129,9 N

Jėgų santykis Q/F = 0,866 auga neribotai, jungtims tiesėjant.

8.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: C = 1,488 kN

Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.

Atramos B reakcija

B_y = 2·1,8/4,8 = 0,75 kN

Ryšio jėga

T = 0,75·2,4/1,4 = 1,286 kN

Šarnyro jėga, veikianti BC

C_x = 1,286 kN, C_y = −0,75 kN

C = √(1,286² + 0,75²) = 1,488 kN

Atsakymas

C = 1,488 kN

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: D (x = 6 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 38,33 kN, R₂ = 46,67 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 76,67, M_C = 153,3, M_D = 230 kN·m, M_E = 186,7, M_F = 93,33, M_G = 0

Atsakymas

Žymė D: M_D = 230 kN·m

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: E (x = 8 m)

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 13,33 kN, R₂ = 91,67 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = −30, M_C = −33,33, M_D = −116,7, M_E = −200 kN·m, M_F = −100, M_G = 0

Atsakymas

Žymė E: M_E = −200 kN·m

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: ȳ = 35 mm

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į stačiakampius

Pagrindą imkite viso pločio, o dvi lentynas virš jo (aukštis h − t), kad niekas nebūtų įskaičiuota du kartus.

bazė: A₁ = 280·20 = 5600 mm², y₁ = 10 mm

dvi lentynos: A₂ = 2·20·100 = 4000 mm², y₂ = 20 + 100/2 = 70 mm

Svorio centras

ȳ = (5600·10 + 4000·70)/9600 = 35 mm

Atsakymas

ȳ = 35 mm

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 33,28 × 10⁶ mm⁴

Padalykite į tris stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

viršutinė lentyna: A = 1200 mm², y = 191 mm

sienelė: A = 1360 mm², y = 101 mm

apatinė lentyna: A = 2880 mm², y = 8 mm

Svorio centras

ȳ = (1200·191 + 1360·101 + 2880·8)/5440 = 71,62 mm

Šteinerio teorema

viršutinė lentyna: 120·10³/12 + 1200·119,4² = 1,711 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 8·170³/12 + 1360·29,38² = 4,449 × 10⁶ mm⁴

apatinė lentyna: 180·16³/12 + 2880·63,62² = 1,172 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,711 × 10⁷ + 4,449 × 10⁶ + 1,172 × 10⁷

I_x = 3,328 × 10⁷ mm⁴ = 33,28 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 33,28 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics