Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.
Sijų atramų reakcijos
Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d
Metodas
Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.
Santvara: mazgų metodas
Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas
Metodas
Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.
Rėmai ir mechanizmai
Kiekvieno strypo pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas
jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga
vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis
F = √(Fx² + Fy²)
Svertas, replės, kampinis svertas
Fin·a = Fout·b
Alkūninis mechanizmas
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Metodas
Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.
Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8
Metodas
Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.
Svorio centras ir inercijos momentas
Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Uždaviniai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis
Raskite k reikšmę, su kuria vektoriai a = (−5, −2, 2) ir b = (k, 2, −4) yra statmeni.
a = (−5, −2, 2)b = (k, 2, −4)
k =
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus
Vienetinis vektorius n̂ statmenas abiem vektoriams a = (−5, 4, −2) ir b = (−1, −2, 3) ir turi teigiamą z komponentę. Raskite jo x komponentę n̂x.
a = (−5, 4, −2)b = (−1, −2, 3)n̂z > 0
n̂x =
3.Sijų atramų reakcijosVidutinis
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RB.
L = 8 mP1 = 45 kN ties 3 mP2 = 60 kN ties 6 m
RB = kN
4.Sijų atramų reakcijosSunkus
Gembinė sija taške A įtvirtinta sienoje. Ją veikia tiesiškai kintanti apkrova, kuri ties siena lygi 6 kN/m ir mažėja iki nulio laisvajame gale B, bei sutelktoji jėga P, esanti 4 m atstumu nuo sienos. Raskite reakcijos momento sienoje didumą MA.
L = 5 mw0 = 6 kN/mP = 15 kN ties 4 m
MA = kN·m
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.
D: 25 kN ↓
1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas BG
13elementas DG
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
Mazgų metodu raskite jėgą FAB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.
tarpatramis = 8 maukštis = 4 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 35 kNhorizontalioji apkrova = 15 kN →
FAB = kN
7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis
Parodytas A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 2,4 m, jo viršūnės šarnyras C yra 4 m aukštyje, o horizontalus ryšys DE – 2 m virš žemės. Vertikali 4 kN apkrova veikia koją AC taške K, 0,9 m (horizontaliai) nuo A. Raskite ryšio tempimo jėgą T.
P = 4 kNAB = 2,4 mC aukštis = 4 mDE aukštis = 2 mhorizontalus atstumas nuo A iki K = 0,9 m
T = kN
8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus
Parodyto sieninio kronšteino sija AB šarnyru pritvirtinta taške A ir paremta atspara CD (C yra 1,5 m žemiau A). Sija per visą ilgį apkrauta tolygiąja 2 kN/m apkrova, o laisvajame gale B – 3 kN taškine apkrova. Raskite jėgą FCD atsparoje.
w = 2 kN/mP = 3 kNAD = 1,6 mAB = 3,6 mAC = 1,5 m
FCD = kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
Laisvai atremtą siją veikia tik jėgų pora M0 = 45 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, esanti x = 7 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą Mx iš karto dešiniau jėgų poros. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.
L = 8 mM0 = 45 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, ties 7 m
Mx = kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą Mmax.
L = 5 mP = 45 kN ties 3 mw = 5 kN/m nuo 0 iki 5 m
Mmax = kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
Lovinis skerspjūvis atvira puse į viršų: 120 mm pločio pagrindo plokštė su dviem vertikaliomis lentynomis, bendrasis aukštis 140 mm. Pagrindo ir lentynų storis vienodas – 10 mm. Raskite svorio centro aukštį ȳ virš apatinės kraštinės.
b = 120 mmh = 140 mmt = 10 mm
ȳ = mm
12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
Suvirinto dvitėjo skerspjūvio viršutinė lentyna yra 120 × 18 mm, sienelė 360 mm aukščio ir 12 mm storio, o apatinė lentyna 290 × 16 mm (plotis × storis). Raskite jo inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
viršutinė lentyna: 120 × 18 mmsienelė: 12 × 360 mmapatinė lentyna: 290 × 16 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Tirpalai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: k = −2,4
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Skaliarinė sandauga lygi nuliui
a·b = (−5)·k + (−2)·2 + 2·(−4) = 0
−12 + (−5)·k = 0
Išspręskite k atžvilgiu
k = −(−12)/(−5) = −2,4
Atsakymas
k = −2,4
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: n̂x = 0,3414
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Vektorinė sandauga
(a × b)x = aybz − azby = 4·3 − (−2)·(−2) = 8
(a × b)y = azbx − axbz = (−2)·(−1) − (−5)·3 = 17
(a × b)z = axby − aybx = (−5)·(−2) − 4·(−1) = 14
Normalizuokite
a × b z komponentė jau teigiama.
|a × b| = √(8² + 17² + 14²) = 23,43
n̂ = (8, 17, 14)/23,43 = (0,3414, 0,7255, 0,5975)
n̂x = 0,3414
Atsakymas
n̂x = 0,3414
3.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RB = 61,88 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.
Laisvojo kūno diagrama
Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.
Pusiausvyra
Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.
ΣMA = 0: RB·8 = 45·3 + 60·6
RB = 495/8 = 61,88 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 61,88 = 43,13 kN
Atsakymas
RB = 61,88 kN
4.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: MA = 85 kN·m
Gembės pusiausvyra: įtvirtinimas gali stumti aukštyn ir priešintis posūkiui, todėl jame atsiranda vertikalioji reakcija RA ir reakcijos momentas MA. ΣFy = 0 duoda RA, o momentai sienos atžvilgiu duoda MA = Σ(apkrova × atstumas nuo sienos). Išskirstytoji apkrova veikia kaip jos atstojamoji apkrovos diagramos svorio centre.
Trikampės apkrovos atstojamoji
W = ½·6·5 = 15 kN
x̄ = L/3 = 1,667 m
Momentas sienos atžvilgiu
MA = W·x̄ + P·a = 15·1,667 + 15·4 = 85 kN·m
Atsakymas
MA = 85 kN·m
5.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: elementas CG
Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.
Mazgas C
BC ir CD yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Patikrinkite mazgų metodu
Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·8 = 35·1 + 15·4 → Cy = 11,88 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 11,88 = 23,13 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN
Mazgas A
Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.
sin α = 4/4,123 = 0,9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −23,13/0,9701 = −23,84 kN
Atsakymas
FAB = −23,84 kN (gniuždymas)
7.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: T = 0,9 kN
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Visas rėmas: momentai taško A atžvilgiu
By = 4·0,9/2,4 = 1,5 kN
Koja BC: momentai taško C atžvilgiu
1,5·1,2 = T·2
T = 0,9 kN
Atsakymas
T = 0,9 kN
8.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: FCD = 21,71 kN
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Tolygiosios apkrovos atstojamoji
w·L = 2·3,6 = 7,2 kN ties 1,8 m
Sijos momentai taško A atžvilgiu
FCD·0,6839·1,6 = 7,2·1,8 + 3·3,6 = 23,76 kN·m
FCD = 21,71 kN
Atsakymas
FCD = 21,71 kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Mx = 5,625 kN·m
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Pridėta jėgų pora lenkimo momentų diagramoje sukelia šuolį, lygų poros dydžiui.
Atramų reakcijos
Momentai taško A atžvilgiu, prieš laikrodžio rodyklę teigiami: RB·L − M0 = 0. Vertikalioji pusiausvyra: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 45/8 = 5,625 kN (aukštyn)
RA = −RB = −5,625 kN (žemyn)
Pjūvis iš karto dešiniau jėgų poros
Kairiojoje dalyje dabar yra RA ir jėgų pora.
Mx = RA·a + M0 = −5,625·7 + 45 = 5,625 kN·m
Atsakymas
Mx = 5,625 kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Mmax = 69 kN·m
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.
Atramų reakcijos
Visos sijos pusiausvyra.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 45·3 + 5·5·2,5
RB = 197,5/5 = 39,5 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 39,5 = 30,5 kN
Kur V = 0?
V(3⁻) = RA − w·3 = 15,5 kN
V(3⁺) = 15,5 − 45 = −29,5 kN
Skersinė jėga keičia ženklą ties apkrova, todėl maksimumas yra po apkrova.
Didžiausias momentas
Mmax = RA·3 − w·3²/2 = 30,5·3 − 5·3²/2 = 69 kN·m
Atsakymas
Mmax = 69 kN·m
Tai yra taške x = 3 m nuo A.
11.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: ȳ = 52,89 mm
Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.
Padalykite į stačiakampius
Pagrindą imkite viso pločio, o dvi lentynas virš jo (aukštis h − t), kad niekas nebūtų įskaičiuota du kartus.
bazė: A1 = 120·10 = 1200 mm², y1 = 5 mm
dvi lentynos: A2 = 2·10·130 = 2600 mm², y2 = 10 + 130/2 = 75 mm
Svorio centras
ȳ = (1200·5 + 2600·75)/3800 = 52,89 mm
Atsakymas
ȳ = 52,89 mm
12.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: Ix = 268,6 × 10⁶ mm⁴
Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.
Padalykite į tris stačiakampius
Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.
viršutinė lentyna: A = 2160 mm², y = 385 mm
sienelė: A = 4320 mm², y = 196 mm
apatinė lentyna: A = 4640 mm², y = 8 mm
Svorio centras
ȳ = (2160·385 + 4320·196 + 4640·8)/11120 = 154,3 mm
Šteinerio teorema
viršutinė lentyna: 120·18³/12 + 2160·230,7² = 1,151 × 10⁸ mm⁴