Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.
Sijų atramų reakcijos
Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d
Metodas
Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.
Santvara: mazgų metodas
Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas
Metodas
Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.
Rėmai ir mechanizmai
Kiekvieno strypo pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas
jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga
vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis
F = √(Fx² + Fy²)
Svertas, replės, kampinis svertas
Fin·a = Fout·b
Alkūninis mechanizmas
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Metodas
Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.
Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8
Metodas
Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.
Svorio centras ir inercijos momentas
Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Uždaviniai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis
Raskite vektoriaus a = (1, −6, −4) skaliarinę projekciją compb a į b = (2, −5, −6), t. y. a komponentę b kryptimi.
a = (1, −6, −4)b = (2, −5, −6)
compb a =
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus
Kai a = (−1, 5, −1) ir b = (5, 5, 2), raskite vektorinės sandaugos a × b y komponentę (a × b)y.
a = (−1, 5, −1)b = (5, 5, 2)
(a × b)y =
3.Sijų atramų reakcijosVidutinis
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RB.
L = 8 mP1 = 55 kN ties 1 mP2 = 50 kN ties 5 m
RB = kN
4.Sijų atramų reakcijosSunkus
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RA.
L = 6 mP = 35 kN ties 3,5 mw = 5 kN/m nuo 4 iki 6 m
tarpatramis = 4 maukštis = 4 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 30 kN
FBC = kN
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.
C: 10 kN ↓D: 20 kN ↓F: 20 kN →G: 20 kN ↓
1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas FC
13elementas HC
7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis
Parodytame alkūniniame spaustuve dvi vienodos jungtys AB ir BC sujungtos šarnyru B, ir kiekviena su tiese AC sudaro 25° kampą. Taške B veikia žemyn nukreipta 200 N jėga. Slankiklis C spaudžia ruošinį. Nepaisydami trinties ir svorių, raskite horizontaliąją spaudimo jėgą Q.
F = 200 Nθ = 25°
Q = N
8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus
Parodytas A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 4 m. Kojos susitinka šarnyre C, 4 m aukštyje, ir sujungtos horizontaliu strypu DE 1,5 m aukštyje. Taške C į dešinę veikia horizontali 12 kN jėga. Raskite ryšio tempimo jėgą T.
P = 12 kNAB = 4 mC aukštis = 4 mDE aukštis = 1,5 m
T = kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
Laisvai atremtą siją veikia tik jėgų pora M0 = 35 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, esanti x = 3 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą Mx iš karto dešiniau jėgų poros. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.
L = 4 mM0 = 35 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, ties 3 m
Mx = kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.
60 kN @ 6 m50 kN @ 2 m12 kN/m, 0–4 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
100 mm × 200 mm plokštė turi apvalią 60 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 120 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
b = 100 mmh = 200 mmd = 60 mmskylės centras: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 50 kN·m. Raskite lenkimo įtempį σapačia apatiniame krašte.
Skaliarinė sandauga:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, skaliaras. Ji duoda kampą tarp dviejų vektorių, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ir lygi nuliui, kai vektoriai statmeni. Skaliarinė a projekcija į b yra a·b/|b|, o pastovi jėga F, poslinkiu d atliekanti darbą, atlieka darbą W = F·d.
Skaliarinė sandauga
a·b = 1·2 + (−6)·(−5) + (−4)·(−6) = 56
b ilgis
|b| = √(2² + (−5)² + (−6)²) = 8,062
Skaliarinė projekcija
compb a = a·b/|b| = 56/8,062 = 6,946
Atsakymas
compb a = 6,946
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: (a × b)y = −3
Vektorinė sandauga:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) yra statmena abiem vektoriams, o |a × b| = |a|·|b|·sin θ yra jų sudaryto lygiagretainio plotas (trikampio plotas yra pusė jo). Eilės tvarka svarbi: b × a = −(a × b). Jėgos F, veikiančios taške A, momentas taško O atžvilgiu yra MO = r × F, kur r = A − O.
Vektorinė sandauga komponentėmis
(a × b)x = aybz − azby = 5·2 − (−1)·5 = 15
(a × b)y = azbx − axbz = (−1)·5 − (−1)·2 = −3
(a × b)z = axby − aybx = (−1)·5 − 5·5 = −30
Prašoma komponentė
(a × b)y = −3
Atsakymas
(a × b)y = −3
Patikra: a × b yra statmena abiem vektoriams, todėl jos skaliarinė sandauga su a ir su b lygi nuliui.
3.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RB = 38,13 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.
Laisvojo kūno diagrama
Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.
Pusiausvyra
Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.
ΣMA = 0: RB·8 = 55·1 + 50·5
RB = 305/8 = 38,13 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 38,13 = 66,88 kN
Atsakymas
RB = 38,13 kN
4.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RA = 16,25 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.
Laisvojo kūno diagrama
Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.
Pusiausvyra
Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN, veikianti taške x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 35·3,5 + 5·2·5
RB = 172,5/6 = 28,75 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 28,75 = 16,25 kN
Atsakymas
RA = 16,25 kN
5.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: FBC = −9,375 kN
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·4 = 30·1 → Cy = 7,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 7,5 = 22,5 kN
Mazgas C
Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.
Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.
Mazgas B
AB ir BC yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik BF.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Patikrinkite mazgų metodu
Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).
Mechanizmai: replės, svertai, jungčių sistemos ir spaustuvai įėjimo jėgą paverčia didesne ar kitos krypties išėjimo jėga. Vieną dalį nubraižykite kaip laisvąjį kūną ir imkite momentus jos sukimosi ašies atžvilgiu: šarnyro jėga iškrenta, o Fin·a = Fout·b duoda mechaninį išlošį a/b. Šarnyro jėgą tada gaunate iš ΣF = 0 tai pačiai daliai. Alkūniniame mechanizme dvi jungtys susitinka mažu kampu θ; kiekviena jungtis yra dviejų jėgų strypas, todėl maža jėga F sandūroje sukuria dideles jungčių jėgas F/(2 sin θ) ir spaudimo jėgą F/(2 tan θ).
Šarnyro B pusiausvyra
2·Flink·sin 25° = 200
Flink = 236,6 N
Spaudimo jėga
Q = Flink·cos 25° = 200/(2·tan 25°) = 214,5 N
Atsakymas
Q = 214,5 N
Jėgų santykis Q/F = 1,072 auga neribotai, jungtims tiesėjant.
8.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: T = 9,6 kN
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Visas rėmas: momentai taško A atžvilgiu
By·4 = 12·4
By = 12 kN
Koja BC: momentai taško C atžvilgiu
12·2 = T·2,5
T = 9,6 kN
Atsakymas
T = 9,6 kN
Teigiamas T reiškia, kad ryšys tempiamas, kaip ir buvo daroma prielaida.
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Mx = 8,75 kN·m
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Pridėta jėgų pora lenkimo momentų diagramoje sukelia šuolį, lygų poros dydžiui.
Atramų reakcijos
Momentai taško A atžvilgiu, prieš laikrodžio rodyklę teigiami: RB·L − M0 = 0. Vertikalioji pusiausvyra: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 35/4 = 8,75 kN (aukštyn)
RA = −RB = −8,75 kN (žemyn)
Pjūvis iš karto dešiniau jėgų poros
Kairiojoje dalyje dabar yra RA ir jėgų pora.
Mx = RA·a + M0 = −8,75·3 + 35 = 8,75 kN·m
Atsakymas
Mx = 8,75 kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: E (x = 4 m)
Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.
Atramų reakcijos
Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.
R1 = 19 kN, R2 = 139 kN
Lenkimo momentas ties kiekviena žyme
Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.
MA = 0, MB = 13, MC = 14, MD = −47, ME = −120 kN·m, MF = −60, MG = 0
Atsakymas
Žymė E: ME = −120 kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: Ix = 64,71 × 10⁶ mm⁴
Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.
Svorio centras
ȳ = (20000·100 − 2827·120)/(20000 − 2827) = 96,71 mm
Pilna plokštė ȳ atžvilgiu
100·200³/12 + 20000·3,293² = 66,88 × 10⁶ mm⁴
Skylė ȳ atžvilgiu
π·60⁴/64 + 2827·23,29² = 2,17 × 10⁶ mm⁴
Atimkite
Ix = 64,71 × 10⁶ mm⁴
Atsakymas
Ix = 64,71 × 10⁶ mm⁴
12.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: σapačia = 183,3 MPa
Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.
Padalykite į du stačiakampius
Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.
lentyna: Af = 220·15 = 3300 mm², yf = 260 + 15/2 = 267,5 mm
sienelė: Aw = 14·260 = 3640 mm², yw = 260/2 = 130 mm