Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.
Sijų atramų reakcijos
Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d
Metodas
Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.
Santvara: mazgų metodas
Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas
Metodas
Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.
Rėmai ir mechanizmai
Kiekvieno strypo pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas
jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga
vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis
F = √(Fx² + Fy²)
Svertas, replės, kampinis svertas
Fin·a = Fout·b
Alkūninis mechanizmas
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Metodas
Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.
Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8
Metodas
Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.
Svorio centras ir inercijos momentas
Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Uždaviniai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis
Raskite vektoriaus a = (5, −2, 2) skaliarinę projekciją compb a į b = (−6, 5, 2), t. y. a komponentę b kryptimi.
a = (5, −2, 2)b = (−6, 5, 2)
compb a =
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus
Raskite gretasienio, kurio briaunos iš vienos viršūnės yra a = (−5, −4, 3), b = (1, 3, 5) ir c = (−5, 5, −3), tūrį V.
a = (−5, −4, 3)b = (1, 3, 5)c = (−5, 5, −3)
V =
3.Sijų atramų reakcijosVidutinis
Sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, esančią 3 m atstumu nuo A, o už B tęsiasi konsolė iki laisvojo galo C. Raskite vertikaliąją reakciją RA, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.
AB = 3 mAC = 4 mP1 = 15 kN ties 2,5 mP2 = 50 kN ties 4 m
RA = kN
4.Sijų atramų reakcijosSunkus
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. 3 m atstumu nuo A veikia apkrova P, pasvirusi 40° kampu į horizontalę, o 7 m atstumu nuo A – vertikalioji apkrova Q. Raskite suminės reakcijos jėgos šarnyre A didumą RA.
L = 8 mP = 25 kN ties 3 m, θ = 40°Q = 70 kN ties 7 m
Parodytas A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 3 m, jo viršūnės šarnyras C yra 2,5 m aukštyje, o horizontalus ryšys DE – 0,6 m virš žemės. Vertikali 12 kN apkrova veikia koją AC taške K, 0,75 m (horizontaliai) nuo A. Raskite ryšio tempimo jėgą T.
P = 12 kNAB = 3 mC aukštis = 2,5 mDE aukštis = 0,6 mhorizontalus atstumas nuo A iki K = 0,75 m
T = kN
8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus
Alkūninio preso dvi vienodos jungtys AB ir BC yra po 150 mm ilgio tarp šarnyrų. Šarnyras B yra 5 mm virš tiesės AC. Kokia žemyn nukreipta jėga F taške B sukuria 2500 N horizontalią spaudimo jėgą ties slankikliu C? Nepaisykite trinties ir svorių.
Q = 2500 NAB = BC = 150 mmh = 5 mm
F = N
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 1,5 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Ją veikia sutelktoji jėga P1 tarp atramų ir sutelktoji jėga P2 taške C. Raskite lenkimo momentą Mx po apkrova P1. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.
L = 6,5 mP1 = 70 kN ties 2 mP2 = 65 kN ties 6,5 matramos ties x = 0 ir x = 5 m
Mx = kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 1 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.
L = 8 mP = 35 kN ties 1 mw = 5 kN/m nuo 0 iki 8 mx = 1 m
Mx = kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
bf = 180 mmtf = 20 mmtw = 18 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
200 mm × 200 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 80 mm pločio ir 40 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 120 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
b = 200 mmh = 200 mmiškirpimas: 80 × 40 mmskylės centras: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Tirpalai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: compb a = −4,465
Skaliarinė sandauga:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, skaliaras. Ji duoda kampą tarp dviejų vektorių, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ir lygi nuliui, kai vektoriai statmeni. Skaliarinė a projekcija į b yra a·b/|b|, o pastovi jėga F, poslinkiu d atliekanti darbą, atlieka darbą W = F·d.
Skaliarinė sandauga
a·b = 5·(−6) + (−2)·5 + 2·2 = −36
b ilgis
|b| = √((−6)² + 5² + 2²) = 8,062
Skaliarinė projekcija
compb a = a·b/|b| = −36/8,062 = −4,465
Atsakymas
compb a = −4,465
Neigiama: a turi komponentę, nukreiptą prieš b.
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: V = 318
Vektorinė sandauga:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) yra statmena abiem vektoriams, o |a × b| = |a|·|b|·sin θ yra jų sudaryto lygiagretainio plotas (trikampio plotas yra pusė jo). Eilės tvarka svarbi: b × a = −(a × b). Jėgos F, veikiančios taške A, momentas taško O atžvilgiu yra MO = r × F, kur r = A − O.
Vektorinė sandauga b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 3·(−3) − 5·5 = −34
(b × c)y = bzcx − bxcz = 5·(−5) − 1·(−3) = −22
(b × c)z = bxcy − bycx = 1·5 − 3·(−5) = 20
Skaliarinė sandauga su a
a·(b × c) = (−5)·(−34) + (−4)·(−22) + 3·20 = 318
V = |318| = 318
Atsakymas
V = 318
3.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RA = −14,17 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.
Momentai A atžvilgiu
Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.
ΣMA = 0: RB·3 = 15·2,5 + 50·4
RB = 237,5/3 = 79,17 kN
Vertikalioji pusiausvyra
RA = 15 + 50 − 79,17 = −14,17 kN
Atsakymas
RA = −14,17 kN
RA neigiama: šarnyras A turi prilaikyti siją, kad ši nepakiltų.
4.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RA = 26,83 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.
P dedamosios
Pv = 25·sin 40° = 16,07 kN
Ph = 25·cos 40° = 19,15 kN
Reakcijos
ΣMA = 0: RB·8 = 16,07·3 + 70·7 → RB = 67,28 kN
Ay = 16,07 + 70 − 67,28 = 18,79 kN
Ax = Ph = 19,15 kN
Atstojamoji ties A
RA = √(19,15² + 18,79²) = 26,83 kN
Atsakymas
RA = 26,83 kN
5.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: FAC = 20 kN
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·8 = 40·2 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 10 = 30 kN
Mazgas C
Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.
sin γ = 3/6,708 = 0,4472, cos γ = 6/6,708 = 0,8944
Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.
Mazgas G
FG ir GH yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Patikrinkite mazgų metodu
Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Visas rėmas: momentai taško A atžvilgiu
By = 12·0,75/3 = 3 kN
Koja BC: momentai taško C atžvilgiu
3·1,5 = T·1,9
T = 2,368 kN
Atsakymas
T = 2,368 kN
8.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: F = 166,8 N
Mechanizmai: replės, svertai, jungčių sistemos ir spaustuvai įėjimo jėgą paverčia didesne ar kitos krypties išėjimo jėga. Vieną dalį nubraižykite kaip laisvąjį kūną ir imkite momentus jos sukimosi ašies atžvilgiu: šarnyro jėga iškrenta, o Fin·a = Fout·b duoda mechaninį išlošį a/b. Šarnyro jėgą tada gaunate iš ΣF = 0 tai pačiai daliai. Alkūniniame mechanizme dvi jungtys susitinka mažu kampu θ; kiekviena jungtis yra dviejų jėgų strypas, todėl maža jėga F sandūroje sukuria dideles jungčių jėgas F/(2 sin θ) ir spaudimo jėgą F/(2 tan θ).
Jungties kampas
sin θ = 5/150 = 0,03333, θ = 1,91°
Jungties jėga
Flink = Q/cos θ = 2501 N
Jėga taške B
F = 2·Flink·sin θ = 2·2500·tan θ = 166,8 N
Atsakymas
F = 166,8 N
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Mx = 45 kN·m
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.
Atramų reakcijos
Visos sijos pusiausvyra. Konsolės apkrova taip pat sukuria momentą taško A atžvilgiu.
ΣMA = 0: RB·5 = 70·2 + 65·6,5
RB = 562,5/5 = 112,5 kN
ΣFy = 0: RA = 135 − 112,5 = 22,5 kN
Pjūvis po P1, paliekama kairioji dalis
Mx = RA·2 = 22,5·2 = 45 kN·m
Atsakymas
Mx = 45 kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Mx = 48,13 kN·m
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.
Atramų reakcijos
Visos sijos pusiausvyra.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, veikianti taške x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 35·1 + 5·8·4
RB = 195/8 = 24,38 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 24,38 = 50,63 kN
Perpjaukite ties x = 1 m ir palikite kairiąją dalį
Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.
M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 50,63·1 − 5·1·0,5 = 48,13 kN·m
Atsakymas
Mx = 48,13 kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: Ix = 66,37 × 10⁶ mm⁴
Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.
Padalykite į du stačiakampius
Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.
lentyna: Af = 180·20 = 3600 mm², yf = 260 + 20/2 = 270 mm
sienelė: Aw = 18·260 = 4680 mm², yw = 260/2 = 130 mm
Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.
Svorio centras
ȳ = (40000·100 − 3200·120)/(40000 − 3200) = 98,26 mm