Statika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Modulis
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vienetinis vektorius
û = a/|a|
Komponentės pagal kampą
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Skaliarinė sandauga
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a skaliarinė projekcija į b
a·b/|b|
Darbas
W = F·d
Vektorinė sandauga
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Plotai
lygiagretainis |a × b|, trikampis ½|a × b|
Momentas taško O atžvilgiu
MO = r × F, r = A − O
Gretasienio tūris
V = |a·(b × c)|

Metodas

  1. Kiekvieną vektorių užrašykite komponentėmis; jėgai, pateiktai moduliu ir kampu, naudokite F·cos θ ir F·sin θ.
  2. Ilgiams ir kryptims naudokite modulį √(x² + y² + z²) ir vienetinį vektorių a/|a|.
  3. Skaliarinę sandaugą naudokite kampams, projekcijoms, statmenumui ir darbui: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d

Metodas

  1. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
  2. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
  3. Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
  4. Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

  1. Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
  2. Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
  3. Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
  4. Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Rėmai ir mechanizmai

Kiekvieno strypo pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas
jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga
vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis
F = √(Fx² + Fy²)
Svertas, replės, kampinis svertas
Fin·a = Fout·b
Alkūninis mechanizmas
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje

Metodas

  1. Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
  2. Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
  3. Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
  4. Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2Uždaviniai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis
xyzdFAB

Pastovi jėga F = (−5, −25, −25) N veikia kūną, kuris tiesiai juda iš taško A(5, 4, 0) į tašką B(−3, −5, 4). Koordinatės pateiktos metrais. Raskite jėgos atliktą darbą W.

F = (−5, −25, −25) NA(5, 4, 0) mB(−3, −5, 4) m
W = J
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus
xyzab

Vienetinis vektorius n̂ statmenas abiem vektoriams a = (−3, 2, 5) ir b = (−5, 2, −1) ir turi teigiamą z komponentę. Raskite jo x komponentę n̂x.

a = (−3, 2, 5)b = (−5, 2, −1)n̂z > 0
n̂x =
3.Sijų atramų reakcijosVidutinis
P1​ = 60 kNP2​ = 25 kNABRA​ = ?RB​4 m4 m2 m

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RA.

L = 10 mP1 = 60 kN ties 4 mP2 = 25 kN ties 8 m
RA = kN
4.Sijų atramų reakcijosSunkus
w0​ = 12 kN/mP = 15 kNABMA​ = ?6 m

Gembinė sija taške A įtvirtinta sienoje. Ją veikia tiesiškai kintanti apkrova, kuri ties siena lygi 12 kN/m ir mažėja iki nulio laisvajame gale B, bei sutelktoji jėga P, esanti 6 m atstumu nuo sienos. Raskite reakcijos momento sienoje didumą MA.

L = 6 mw0 = 12 kN/mP = 15 kN ties 6 m
MA = kN·m
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
ABCDEFGH20 kN20 kN35 kN4 × 3 m3 m

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

D: 20 kN ↓G: 20 kN ↓H: 35 kN ↓
  1. 1elementas AB
  2. 2elementas BC
  3. 3elementas CD
  4. 4elementas DE
  5. 5elementas FG
  6. 6elementas GH
  7. 7elementas AF
  8. 8elementas HE
  9. 9elementas BF
  10. 10elementas CG
  11. 11elementas DH
  12. 12elementas BG
  13. 13elementas DG
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
ABCDEFGH25 kN10 kN10 kN4 × 4 m3 m

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

B: 25 kN ↓F: 10 kN ↓F: 10 kN →
  1. 1elementas AB
  2. 2elementas BC
  3. 3elementas CD
  4. 4elementas DE
  5. 5elementas FG
  6. 6elementas GH
  7. 7elementas AF
  8. 8elementas HE
  9. 9elementas BF
  10. 10elementas CG
  11. 11elementas DH
  12. 12elementas BG
  13. 13elementas DG
7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis
4 kN3,2 m1,2 m1,8 mABCDE

Parodytas A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 3,2 m. Kojos susitinka šarnyre C, 3 m aukštyje, o horizontalus ryšys DE yra 1,2 m virš žemės. Taške C veikia 4 kN apkrova. Raskite jėgos C, kuria šarnyras C veikia koją BC, didumą.

P = 4 kNAB = 3,2 mC aukštis = 3 mDE aukštis = 1,2 m
C = kN
8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus
6 kN8 kN8 m4 m4,8 mABCK

Parodytas rėmas turi šarnyrus A, B ir C; A ir C pritvirtinti prie žemės 8 m atstumu, o B yra 4 m aukštyje ir 4,8 m į dešinę nuo A. Strypas AB neša vertikalią 6 kN apkrovą taške K, 1,2 m (horizontaliai) nuo A, o taške B strypą AB veikia horizontali 8 kN apkrova į dešinę. Raskite horizontaliosios reakcijos Ax taške A didumą.

P = 6 kNQ = 8 kNL = 8 mH = 4 mhorizontalus atstumas nuo A iki B = 4,8 mhorizontalus atstumas nuo A iki K = 1,2 m
Ax = kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
P1​ = 25 kNP2​ = 40 kNABC1,5 m4,5 m2 m

Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 2 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Ją veikia sutelktoji jėga P1 tarp atramų ir sutelktoji jėga P2 taške C. Raskite skersinę jėgą Vx iš karto kairiau atramos B. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 8 mP1 = 25 kN ties 1,5 mP2 = 40 kN ties 8 matramos ties x = 0 ir x = 6 m
Vx = kN
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
w = 4 kN/mABC5 m1,5 m

Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 1,5 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Visą ilgį A–C veikia tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią teigiamą lenkimo momentą Mmax tarp atramų.

L = 6,5 mw = 4 kN/m nuo 0 iki 6,5 matramos ties x = 0 ir x = 5 m
Mmax = kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
1002020010xmatmenys mm

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

bf = 100 mmtf = 20 mmtw = 10 mmhw = 200 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
2603010012xM = 25 kN·mmatmenys mm

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 25 kN·m. Raskite lenkimo įtempio σviršus dydį viršutiniame krašte.

bf = 260 mmtf = 30 mmtw = 12 mmhw = 100 mmM = 25 kN·m
σviršus = MPa

3Tirpalai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: W = 165 J

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Poslinkis

d = B − A = (−3, −5, 4) − (5, 4, 0) = (−8, −9, 4) m

Darbas

W = F·d = (−5)·(−8) + (−25)·(−9) + (−25)·4 = 165 J

Atsakymas

W = 165 J
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: n̂x = −0,3906

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Vektorinė sandauga

(a × b)x = aybz − azby = 2·(−1) − 5·2 = −12
(a × b)y = azbx − axbz = 5·(−5) − (−3)·(−1) = −28
(a × b)z = axby − aybx = (−3)·2 − 2·(−5) = 4

Normalizuokite

a × b z komponentė jau teigiama.

|a × b| = √((−12)² + (−28)² + 4²) = 30,72
n̂ = (−12, −28, 4)/30,72 = (−0,3906, −0,9113, 0,1302)
n̂x = −0,3906

Atsakymas

n̂x = −0,3906
3.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RA = 41 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

P1​ = 60 kNP2​ = 25 kNABRA​RB​4 m4 m2 m

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣMA = 0: RB·10 = 60·4 + 25·8
RB = 440/10 = 44 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 44 = 41 kN

Atsakymas

RA = 41 kN
4.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: MA = 162 kN·m

Gembės pusiausvyra: įtvirtinimas gali stumti aukštyn ir priešintis posūkiui, todėl jame atsiranda vertikalioji reakcija RA ir reakcijos momentas MA. ΣFy = 0 duoda RA, o momentai sienos atžvilgiu duoda MA = Σ(apkrova × atstumas nuo sienos). Išskirstytoji apkrova veikia kaip jos atstojamoji apkrovos diagramos svorio centre.

Trikampės apkrovos atstojamoji

W = ½·12·6 = 36 kN
x̄ = L/3 = 2 m

Momentas sienos atžvilgiu

MA = W·x̄ + P·a = 36·2 + 15·6 = 162 kN·m

Atsakymas

MA = 162 kN·m
5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas C

BC ir CD yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 23,75 kN (T), BC: 47,5 kN (T), CD: 47,5 kN (T), DE: 51,25 kN (T), FG: 23,75 kN (C), GH: 51,25 kN (C), AF: 33,59 kN (C), HE: 72,48 kN (C), BF: 23,75 kN (T), CG: 0, DH: 16,25 kN (T), BG: 33,59 kN (C), DG: 5,303 kN (T)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG
6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas C

BC ir CD yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 42,5 kN (T), BC: 28,33 kN (T), CD: 28,33 kN (T), DE: 14,17 kN (T), FG: 42,5 kN (C), GH: 14,17 kN (C), AF: 40,63 kN (C), HE: 17,71 kN (C), BF: 14,38 kN (T), CG: 0, DH: 10,63 kN (T), BG: 17,71 kN (T), DG: 17,71 kN (C)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG
7.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: C = 2,676 kN

Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.

Ryšio jėga iš kojos BC

By = 2 kN
T = 2·1,6/1,8 = 1,778 kN

Šarnyro jėgos komponentės, veikiančios BC

Cx = T = 1,778 kN, Cy = −By = −2 kN

Modulis

C = √(1,778² + 2²) = 2,676 kN

Atsakymas

C = 2,676 kN
8.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: Ax = 4,08 kN

Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.

BC kryptis

BC = 5,122 m, cos = 0,6247, sin = 0,7809

Visas rėmas: momentai taško A atžvilgiu

FBC·0,7809·8 = 6·1,2 + 8·4
FBC = 6,275 kN

Horizontalioji pusiausvyra

Ax + 8 − 6,275·0,6247 = 0
Ax = −4,08 kN → |Ax| = 4,08 kN

Atsakymas

Ax = 4,08 kN

Minuso ženklas reiškia, kad Ax nukreiptas į kairę.

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Vx = −19,58 kN

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra. Konsolės apkrova taip pat sukuria momentą taško A atžvilgiu.

ΣMA = 0: RB·6 = 25·1,5 + 40·8
RB = 357,5/6 = 59,58 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 59,58 = 5,417 kN

Pjūvis iš karto kairiau B, paliekama kairioji dalis

Vx = RA − P1 = 5,417 − 25 = −19,58 kN

Atsakymas

Vx = −19,58 kN
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mmax = 10,35 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra, įskaitant konsolės apkrovą.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 4·6,5 = 26 kN, veikianti taške x̄ = 3,25 m
ΣMA = 0: RB·5 = 4·6,5·3,25
RB = 84,5/5 = 16,9 kN
ΣFy = 0: RA = 26 − 16,9 = 9,1 kN

Nulinė skersinė jėga

RA − w·x0 = 0 → x0 = 9,1/4 = 2,275 m

Didžiausias teigiamas momentas

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 9,1²/(2·4) = 10,35 kN·m

Atsakymas

Mmax = 10,35 kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: Ix = 18,83 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: Af = 100·20 = 2000 mm², yf = 200 + 20/2 = 210 mm
sienelė: Aw = 10·200 = 2000 mm², yw = 200/2 = 100 mm

Svorio centras

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2000·210 + 2000·100)/4000 = 155 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 100·20³/12 + 2000·(210 − 155)² = 6,117 × 10⁶ mm⁴
sienelė: 10·200³/12 + 2000·(100 − 155)² = 1,272 × 10⁷ mm⁴
Ix = 6,117 × 10⁶ + 1,272 × 10⁷ = 1,883 × 10⁷ mm⁴ = 18,83 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

Ix = 18,83 × 10⁶ mm⁴
12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σviršus = 98,96 MPa

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: Af = 260·30 = 7800 mm², yf = 100 + 30/2 = 115 mm
sienelė: Aw = 12·100 = 1200 mm², yw = 100/2 = 50 mm

Svorio centras

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7800·115 + 1200·50)/9000 = 106,3 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 260·30³/12 + 7800·(115 − 106,3)² = 1,171 × 10⁶ mm⁴
sienelė: 12·100³/12 + 1200·(50 − 106,3)² = 4,808 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,171 × 10⁶ + 4,808 × 10⁶ = 5,979 × 10⁶ mm⁴

Lenkimo įtempis

Viršutinis kraštas yra h − ȳ atstumu nuo ašies.

y = 130 − 106,3 = 23,67 mm
σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·23,67/5,979 × 10⁶ = 98,96 MPa

Atsakymas

σviršus = 98,96 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics