Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.
Sijų atramų reakcijos
Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d
Metodas
Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.
Santvara: mazgų metodas
Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas
Metodas
Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.
Rėmai ir mechanizmai
Kiekvieno strypo pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas
jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga
vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis
F = √(Fx² + Fy²)
Svertas, replės, kampinis svertas
Fin·a = Fout·b
Alkūninis mechanizmas
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Metodas
Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.
Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8
Metodas
Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.
Svorio centras ir inercijos momentas
Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Uždaviniai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis
Raskite k reikšmę, su kuria vektoriai a = (−1, −4, −1) ir b = (−3, k, 4) yra statmeni.
a = (−1, −4, −1)b = (−3, k, 4)
k =
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus
Vienetinis vektorius n̂ statmenas abiem vektoriams a = (4, 5, 4) ir b = (−2, −5, 1) ir turi teigiamą z komponentę. Raskite jo x komponentę n̂x.
a = (4, 5, 4)b = (−2, −5, 1)n̂z > 0
n̂x =
3.Sijų atramų reakcijosVidutinis
Sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, esančią 3,5 m atstumu nuo A, o už B tęsiasi konsolė iki laisvojo galo C. Raskite vertikaliąją reakciją RB, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.
AB = 3,5 mAC = 5 mP1 = 15 kN ties 3 mP2 = 60 kN ties 5 m
RB = kN
4.Sijų atramų reakcijosSunkus
Sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, esančią 6 m atstumu nuo A, o už B tęsiasi konsolė iki laisvojo galo C. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 4 m atstumu nuo A, ir tolygiai išskirstyta apkrova w nuo 4 m iki laisvojo galo ties 8 m. Raskite vertikaliąją reakciją RB, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.
AB = 6 mAC = 8 mP = 10 kN ties 4 mw = 6 kN/m nuo 4 iki 8 m
tarpatramis = 4 maukštis = 4 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 30 kNhorizontalioji apkrova = 30 kN ←
FBC = kN
7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis
Parodytas rėmas turi šarnyrus A, B ir C; A ir C pritvirtinti prie žemės 3 m atstumu, o B yra 4 m virš žemės ir 0,9 m į dešinę nuo A. Vertikali 15 kN apkrova veikia strypą AB taške K, 0,45 m (horizontaliai) nuo A. Raskite jėgą FBC strype BC.
P = 15 kNL = 3 mH = 4 mhorizontalus atstumas nuo A iki B = 0,9 mhorizontalus atstumas nuo A iki K = 0,45 m
FBC = kN
8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus
Parodytas A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 6 m, jo viršūnės šarnyras C yra 4 m aukštyje, o horizontalus ryšys DE – 2 m virš žemės. Vertikali 6 kN apkrova veikia koją AC taške K, 2,25 m (horizontaliai) nuo A. Raskite jėgos C, kuria šarnyras C veikia koją BC, didumą.
P = 6 kNAB = 6 mC aukštis = 4 mDE aukštis = 2 mhorizontalus atstumas nuo A iki K = 2,25 m
C = kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
Laisvai atremtą siją veikia tik jėgų pora M0 = 25 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, esanti x = 4 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą Mx iš karto dešiniau jėgų poros. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.
L = 8 mM0 = 25 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, ties 4 m
Mx = kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.
25 kN @ 0 m25 kN @ 6 m4 kN/m, 1–4 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
200 mm × 300 mm plokštė turi apvalią 30 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 195 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
b = 200 mmh = 300 mmd = 30 mmskylės centras: y = 195 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 40 kN·m. Raskite lenkimo įtempio σviršus dydį viršutiniame krašte.
Skaliarinė sandauga:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, skaliaras. Ji duoda kampą tarp dviejų vektorių, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ir lygi nuliui, kai vektoriai statmeni. Skaliarinė a projekcija į b yra a·b/|b|, o pastovi jėga F, poslinkiu d atliekanti darbą, atlieka darbą W = F·d.
Skaliarinė sandauga lygi nuliui
a·b = (−1)·(−3) + (−4)·k + (−1)·4 = 0
−1 + (−4)·k = 0
Išspręskite k atžvilgiu
k = −(−1)/(−4) = −0,25
Atsakymas
k = −0,25
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: n̂x = −0,8481
Vektorinė sandauga:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) yra statmena abiem vektoriams, o |a × b| = |a|·|b|·sin θ yra jų sudaryto lygiagretainio plotas (trikampio plotas yra pusė jo). Eilės tvarka svarbi: b × a = −(a × b). Jėgos F, veikiančios taške A, momentas taško O atžvilgiu yra MO = r × F, kur r = A − O.
Vektorinė sandauga
(a × b)x = aybz − azby = 5·1 − 4·(−5) = 25
(a × b)y = azbx − axbz = 4·(−2) − 4·1 = −12
(a × b)z = axby − aybx = 4·(−5) − 5·(−2) = −10
Normalizuokite
a × b z komponentė neigiama, todėl naudokite −(a × b).
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.
Momentai A atžvilgiu
Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.
ΣMA = 0: RB·3,5 = 15·3 + 60·5
RB = 345/3,5 = 98,57 kN
Vertikalioji pusiausvyra
RA = 15 + 60 − 98,57 = −23,57 kN
Atsakymas
RB = 98,57 kN
RA neigiama: šarnyras A turi prilaikyti siją, kad ši nepakiltų.
4.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RB = 30,67 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji
W = 6·4 = 24 kN, x̄ = (4 + 8)/2 = 6 m
Pusiausvyra
Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.
ΣMA = 0: RB·6 = 10·4 + 24·6
RB = 184/6 = 30,67 kN
RA = 34 − 30,67 = 3,333 kN
Atsakymas
RB = 30,67 kN
5.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: FBC = −43,27 kN
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·5 = 60·2 → Cy = 24 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 24 = 36 kN
Mazgas C
Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.
sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·4 = 30·1 − 30·4 → Cy = −22,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − −22,5 = 52,5 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN
Mazgas C
Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Dviejų jėgų strypas BC
BC = √(2,1² + 4²) = 4,518 m
Visas rėmas: momentai taško A atžvilgiu
Žemė stumia BC taške C išilgai CB; jos horizontalioji komponentė eina per A, momentą turi tik vertikalioji.
FBC·(4/4,518)·3 = 15·0,45
FBC = 2,541 kN (gniuždymas)
Atsakymas
FBC = 2,541 kN
8.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: C = 4,056 kN
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Atramos B reakcija
By = 6·2,25/6 = 2,25 kN
Ryšio jėga
T = 2,25·3/2 = 3,375 kN
Šarnyro jėga, veikianti BC
Cx = 3,375 kN, Cy = −2,25 kN
C = √(3,375² + 2,25²) = 4,056 kN
Atsakymas
C = 4,056 kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Mx = 12,5 kN·m
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Pridėta jėgų pora lenkimo momentų diagramoje sukelia šuolį, lygų poros dydžiui.
Atramų reakcijos
Momentai taško A atžvilgiu, prieš laikrodžio rodyklę teigiami: RB·L − M0 = 0. Vertikalioji pusiausvyra: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 25/8 = 3,125 kN (aukštyn)
RA = −RB = −3,125 kN (žemyn)
Pjūvis iš karto dešiniau jėgų poros
Kairiojoje dalyje dabar yra RA ir jėgų pora.
Mx = RA·a + M0 = −3,125·4 + 25 = 12,5 kN·m
Atsakymas
Mx = 12,5 kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: E (x = 4 m)
Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.
Atramų reakcijos
Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.
R1 = 22,67 kN, R2 = 39,33 kN
Lenkimo momentas ties kiekviena žyme
Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.
MA = 0, MB = −25, MC = −29,33, MD = −37,67, ME = −50 kN·m, MF = −25, MG = 0
Atsakymas
Žymė E: ME = −50 kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: Ix = 448,5 × 10⁶ mm⁴
Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.
Svorio centras
ȳ = (60000·150 − 706,9·195)/(60000 − 706,9) = 149,5 mm
Pilna plokštė ȳ atžvilgiu
200·300³/12 + 60000·0,5365² = 450 × 10⁶ mm⁴
Skylė ȳ atžvilgiu
π·30⁴/64 + 706,9·45,54² = 1,505 × 10⁶ mm⁴
Atimkite
Ix = 448,5 × 10⁶ mm⁴
Atsakymas
Ix = 448,5 × 10⁶ mm⁴
12.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: σviršus = 185,1 MPa
Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.
Padalykite į du stačiakampius
Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.
lentyna: Af = 220·15 = 3300 mm², yf = 120 + 15/2 = 127,5 mm
sienelė: Aw = 10·120 = 1200 mm², yw = 120/2 = 60 mm