Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.
Sijų atramų reakcijos
Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d
Metodas
Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.
Santvara: mazgų metodas
Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas
Metodas
Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.
Rėmai ir mechanizmai
Kiekvieno strypo pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas
jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga
vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis
F = √(Fx² + Fy²)
Svertas, replės, kampinis svertas
Fin·a = Fout·b
Alkūninis mechanizmas
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Metodas
Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.
Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8
Metodas
Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.
Svorio centras ir inercijos momentas
Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Uždaviniai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis
Pastovi jėga F = (0, −30, 15) N veikia kūną, kuris tiesiai juda iš taško A(−2, 4, −4) į tašką B(0, −4, 4). Koordinatės pateiktos metrais. Raskite jėgos atliktą darbą W.
F = (0, −30, 15) NA(−2, 4, −4) mB(0, −4, 4) m
W = J
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus
Jėga F = (60, −60, −30) N veikia taške A(3, −1, −2). Koordinatės pateiktos metrais. Raskite jėgos momento taško koordinačių pradžia O(0, 0, 0) atžvilgiu y komponentę My.
F = (60, −60, −30) NA(3, −1, −2) mO(0, 0, 0) m
My = N·m
3.Sijų atramų reakcijosVidutinis
Laisvai atremtą siją (šarnyrinė atrama A, ritininė atrama B) veikia tiesiškai kintanti apkrova, didėjanti nuo nulio ties A iki 20 kN/m ties B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RA.
L = 8 mw0 = 20 kN/m
RA = kN
4.Sijų atramų reakcijosSunkus
Sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, esančią 4 m atstumu nuo A, o už B tęsiasi konsolė iki laisvojo galo C. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 3 m atstumu nuo A, ir tolygiai išskirstyta apkrova w nuo 3 m iki laisvojo galo ties 5 m. Raskite vertikaliąją reakciją RB, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.
AB = 4 mAC = 5 mP = 35 kN ties 3 mw = 12 kN/m nuo 3 iki 5 m
RB = kN
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.
D: 30 kN ↓
1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas BG
13elementas DG
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
Mazgų metodu raskite jėgą FAB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.
tarpatramis = 5 maukštis = 3 mB yra 3 m nuo Avertikalioji apkrova = 35 kNhorizontalioji apkrova = 30 kN ←
FAB = kN
7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis
Parodytas A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 3,2 m. Kojos susitinka šarnyre C, 4,5 m aukštyje, o horizontalus ryšys DE yra 2 m virš žemės. Taške C veikia 8 kN apkrova. Raskite jėgos C, kuria šarnyras C veikia koją BC, didumą.
P = 8 kNAB = 3,2 mC aukštis = 4,5 mDE aukštis = 2 m
C = kN
8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus
Parodytas rėmas turi šarnyrus A, B ir C; A ir C pritvirtinti prie žemės 3 m atstumu, o B yra 2 m aukštyje ir 0,9 m į dešinę nuo A. Strypas AB neša vertikalią 8 kN apkrovą taške K, 0,45 m (horizontaliai) nuo A, o taške B strypą AB veikia horizontali 8 kN apkrova į dešinę. Raskite horizontaliosios reakcijos Ax taške A didumą.
P = 8 kNQ = 8 kNL = 3 mH = 2 mhorizontalus atstumas nuo A iki B = 0,9 mhorizontalus atstumas nuo A iki K = 0,45 m
Ax = kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
Gembė įtvirtinta taške A. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktoji jėga P, esanti 1,5 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 0,5 m nuo įtvirtinimo A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.
L = 2,5 mP = 70 kN ties 1,5 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 2,5 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 2,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.
L = 4 mP = 25 kN ties 2,5 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 4 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
120 mm × 200 mm plokštė turi apvalią 30 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 80 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
b = 120 mmh = 200 mmd = 30 mmskylės centras: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
200 mm × 300 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 80 mm pločio ir 20 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 180 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
b = 200 mmh = 300 mmiškirpimas: 80 × 20 mmskylės centras: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Tirpalai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: W = 360 J
Skaliarinė sandauga:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, skaliaras. Ji duoda kampą tarp dviejų vektorių, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ir lygi nuliui, kai vektoriai statmeni. Skaliarinė a projekcija į b yra a·b/|b|, o pastovi jėga F, poslinkiu d atliekanti darbą, atlieka darbą W = F·d.
Poslinkis
d = B − A = (0, −4, 4) − (−2, 4, −4) = (2, −8, 8) m
Darbas
W = F·d = 0·2 + (−30)·(−8) + 15·8 = 360 J
Atsakymas
W = 360 J
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: My = −30 N·m
Vektorinė sandauga:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) yra statmena abiem vektoriams, o |a × b| = |a|·|b|·sin θ yra jų sudaryto lygiagretainio plotas (trikampio plotas yra pusė jo). Eilės tvarka svarbi: b × a = −(a × b). Jėgos F, veikiančios taške A, momentas taško O atžvilgiu yra MO = r × F, kur r = A − O.
Padėties vektorius iš O į A
r = A − O = (3, −1, −2) − (0, 0, 0) = (3, −1, −2) m
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.
Trikampės apkrovos atstojamoji
W = ½·20·8 = 80 kN
x̄ = 2L/3 = 5,333 m
Pusiausvyra
Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.
ΣMA = 0: RB·8 = 80·5,333
RB = 53,33 kN
RA = 80 − 53,33 = 26,67 kN
Atsakymas
RA = 26,67 kN
4.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RB = 50,25 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji
W = 12·2 = 24 kN, x̄ = (3 + 5)/2 = 4 m
Pusiausvyra
Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.
ΣMA = 0: RB·4 = 35·3 + 24·4
RB = 201/4 = 50,25 kN
RA = 59 − 50,25 = 8,75 kN
Atsakymas
RB = 50,25 kN
5.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: elementas CG
Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.
Mazgas C
BC ir CD yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Patikrinkite mazgų metodu
Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·5 = 35·3 − 30·3 → Cy = 3 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 3 = 32 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN
Mazgas A
Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.
sin α = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −32/0,7071 = −45,25 kN
Atsakymas
FAB = −45,25 kN (gniuždymas)
7.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: C = 4,749 kN
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Ryšio jėga iš kojos BC
By = 4 kN
T = 4·1,6/2,5 = 2,56 kN
Šarnyro jėgos komponentės, veikiančios BC
Cx = T = 2,56 kN, Cy = −By = −4 kN
Modulis
C = √(2,56² + 4²) = 4,749 kN
Atsakymas
C = 4,749 kN
8.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: Ax = 1,14 kN
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
BC kryptis
BC = 2,9 m, cos = 0,7241, sin = 0,6897
Visas rėmas: momentai taško A atžvilgiu
FBC·0,6897·3 = 8·0,45 + 8·2
FBC = 9,473 kN
Horizontalioji pusiausvyra
Ax + 8 − 9,473·0,7241 = 0
Ax = −1,14 kN → |Ax| = 1,14 kN
Atsakymas
Ax = 1,14 kN
Minuso ženklas reiškia, kad Ax nukreiptas į kairę.
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Mx = −90 kN·m
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.
Palikite dalį su laisvuoju galu
P: −70·1 = −70 kN·m
w: −10·2²/2 = −20 kN·m
Mx = −70 − 20 = −90 kN·m
Atsakymas
Mx = −90 kN·m
Neigiamas reiškia neigiamą lenkimą: tempiami viršutiniai sluoksniai.
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Mx = 42,19 kN·m
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.
Atramų reakcijos
Visos sijos pusiausvyra.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, veikianti taške x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 25·2,5 + 10·4·2
RB = 142,5/4 = 35,63 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 35,63 = 29,38 kN
Perpjaukite ties x = 2,5 m ir palikite kairiąją dalį
Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.
M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 29,38·2,5 − 10·2,5·1,25 = 42,19 kN·m
Atsakymas
Mx = 42,19 kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: Ix = 79,67 × 10⁶ mm⁴
Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.
Svorio centras
ȳ = (24000·100 − 706,9·80)/(24000 − 706,9) = 100,6 mm
Pilna plokštė ȳ atžvilgiu
120·200³/12 + 24000·−0,6069² = 80,01 × 10⁶ mm⁴
Skylė ȳ atžvilgiu
π·30⁴/64 + 706,9·−20,61² = 0,3399 × 10⁶ mm⁴
Atimkite
Ix = 79,67 × 10⁶ mm⁴
Atsakymas
Ix = 79,67 × 10⁶ mm⁴
12.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: Ix = 448,5 × 10⁶ mm⁴
Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.
Svorio centras
ȳ = (60000·150 − 1600·180)/(60000 − 1600) = 149,2 mm