Statika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Modulis: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vienetinis vektorius: û = a/|a|
Komponentės pagal kampą: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Skaliarinė sandauga: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a skaliarinė projekcija į b: a·b/|b|
Darbas: W = F·d
Vektorinė sandauga: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Plotai: lygiagretainis |a × b|, trikampis ½|a × b|
Momentas taško O atžvilgiu: M_O = r × F, r = A − O
Gretasienio tūris: V = |a·(b × c)|

Metodas

Kiekvieną vektorių užrašykite komponentėmis; jėgai, pateiktai moduliu ir kampu, naudokite F·cos θ ir F·sin θ.
Ilgiams ir kryptims naudokite modulį √(x² + y² + z²) ir vienetinį vektorių a/|a|.
Skaliarinę sandaugą naudokite kampams, projekcijoms, statmenumui ir darbui: a·b = |a||b|cos θ.
Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Rėmai ir mechanizmai

Kiekvieno strypo pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas: jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga: vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis: F = √(F_x² + F_y²)
Svertas, replės, kampinis svertas: F_in·a = F_out·b
Alkūninis mechanizmas: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje

Metodas

Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Uždaviniai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis

Raskite kampą θ tarp vektorių a = (5, 6, 5) ir b = (4, −3, 0) laipsniais.

a = (5, 6, 5)b = (4, −3, 0)

θ = °

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus

Raskite gretasienio, kurio briaunos iš vienos viršūnės yra a = (0, −2, −3), b = (−1, −2, 4) ir c = (4, −4, 4), tūrį V.

a = (0, −2, −3)b = (−1, −2, 4)c = (4, −4, 4)

V =

3.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, esančią 6 m atstumu nuo A, o už B tęsiasi konsolė iki laisvojo galo C. Raskite vertikaliąją reakciją R_A, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.

AB = 6 mAC = 8 mP₁ = 30 kN ties 3 mP₂ = 25 kN ties 8 m

R_A = kN

4.Sijų atramų reakcijosSunkus

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. 4 m atstumu nuo A veikia apkrova P, pasvirusi 40° kampu į horizontalę, o 8 m atstumu nuo A – vertikalioji apkrova Q. Raskite kampą α tarp suminės reakcijos jėgos šarnyre A ir horizontalės.

L = 10 mP = 75 kN ties 4 m, θ = 40°Q = 50 kN ties 8 m

α = °

5.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

B: 15 kN ↓F: 40 kN ↓

1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas BG
13elementas DG

6.Santvara: mazgų metodasSunkus

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

B: 35 kN ↓C: 10 kN ↓D: 30 kN ↓F: 35 kN ↓F: 15 kN →H: 25 kN ↓

1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas FC
13elementas HC

7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis

Parodytas A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 2 m, jo viršūnės šarnyras C yra 3 m aukštyje, o horizontalus ryšys DE – 1,5 m virš žemės. Vertikali 4 kN apkrova veikia koją AC taške K, 0,75 m (horizontaliai) nuo A. Raskite ryšio tempimo jėgą T.

P = 4 kNAB = 2 mC aukštis = 3 mDE aukštis = 1,5 mhorizontalus atstumas nuo A iki K = 0,75 m

T = kN

8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus

Alkūninio preso dvi vienodos jungtys AB ir BC yra po 200 mm ilgio tarp šarnyrų. Šarnyras B yra 12 mm virš tiesės AC. Kokia žemyn nukreipta jėga F taške B sukuria 1500 N horizontalią spaudimo jėgą ties slankikliu C? Nepaisykite trinties ir svorių.

Q = 1500 NAB = BC = 200 mmh = 12 mm

F = N

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite skersinę jėgą V_x pjūvyje x = 5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 6 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 6 mx = 5 m

V_x = kN

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

45 kN @ 6 m50 kN @ 2 m12 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Simetriško dvitėjo skerspjūvio lentynos yra 200 mm pločio ir 20 mm storio, bendrasis aukštis 340 mm, o sienelės storis 12 mm. Jį veikia 30 kN·m lenkimo momentas ašies x atžvilgiu. Raskite didžiausio lenkimo įtempio didumą σ_max skerspjūvyje.

B = 200 mmH = 340 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmM = 30 kN·m

σ_max = MPa

3Tirpalai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: θ = 87,53 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Skaliarinė sandauga

a·b = 5·4 + 6·(−3) + 5·0 = 2

Moduliai

|a| = √(5² + 6² + 5²) = 9,274

|b| = √(4² + (−3)² + 0²) = 5

Kampas

cos θ = 2/(9,274·5) = 0,04313

θ = arccos(0,04313) = 87,53°

Atsakymas

θ = 87,53°

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: V = 76

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektorinė sandauga b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−2)·4 − 4·(−4) = 8

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 4·4 − (−1)·4 = 20

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−1)·(−4) − (−2)·4 = 12

Skaliarinė sandauga su a

a·(b × c) = 0·8 + (−2)·20 + (−3)·12 = −76

V = |−76| = 76

Atsakymas

V = 76

3.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 6,667 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Momentai A atžvilgiu

Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·3 + 25·8

R_B = 290/6 = 48,33 kN

Vertikalioji pusiausvyra

R_A = 30 + 25 − 48,33 = 6,667 kN

Atsakymas

R_A = 6,667 kN

4.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: α = 34,12 °

P dedamosios

P_v = 75·sin 40° = 48,21 kN

P_h = 75·cos 40° = 57,45 kN

Reakcijos

ΣM_A = 0: R_B·10 = 48,21·4 + 50·8 → R_B = 59,28 kN

A_y = 48,21 + 50 − 59,28 = 38,93 kN

A_x = P_h = 57,45 kN

Kryptis ties A

α = atan(A_y/A_x) = atan(38,93/57,45) = 34,12°

Atsakymas

α = 34,12°

5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas C

BC ir CD yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 55 kN (T), BC: 36,67 kN (T), CD: 36,67 kN (T), DE: 18,33 kN (T), FG: 55 kN (C), GH: 18,33 kN (C), AF: 68,75 kN (C), HE: 22,92 kN (C), BF: 1,25 kN (T), CG: 0, DH: 13,75 kN (T), BG: 22,92 kN (T), DG: 22,92 kN (C)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG

6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Mazgas G

FG ir GH yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 82,5 kN (T), BC: 82,5 kN (T), CD: 67,5 kN (T), DE: 67,5 kN (T), FG: 80 kN (C), GH: 80 kN (C), AF: 95,46 kN (C), HE: 95,46 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 0, DH: 30 kN (T), FC: 3,536 kN (C), HC: 17,68 kN (T)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG

7.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: T = 1 kN

Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.

Visas rėmas: momentai taško A atžvilgiu

B_y = 4·0,75/2 = 1,5 kN

Koja BC: momentai taško C atžvilgiu

1,5·1 = T·1,5

T = 1 kN

Atsakymas

T = 1 kN

8.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: F = 180,3 N

Mechanizmai: replės, svertai, jungčių sistemos ir spaustuvai įėjimo jėgą paverčia didesne ar kitos krypties išėjimo jėga. Vieną dalį nubraižykite kaip laisvąjį kūną ir imkite momentus jos sukimosi ašies atžvilgiu: šarnyro jėga iškrenta, o F_in·a = F_out·b duoda mechaninį išlošį a/b. Šarnyro jėgą tada gaunate iš ΣF = 0 tai pačiai daliai. Alkūniniame mechanizme dvi jungtys susitinka mažu kampu θ; kiekviena jungtis yra dviejų jėgų strypas, todėl maža jėga F sandūroje sukuria dideles jungčių jėgas F/(2 sin θ) ir spaudimo jėgą F/(2 tan θ).

Jungties kampas

sin θ = 12/200 = 0,06, θ = 3,44°

Jungties jėga

F_link = Q/cos θ = 1503 N

Jėga taške B

F = 2·F_link·sin θ = 2·1500·tan θ = 180,3 N

Atsakymas

F = 180,3 N

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: V_x = −12 kN

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, veikianti taške x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·6·3

R_B = 108/6 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 18 = 18 kN

Perpjaukite ties x = 5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

V = R_A − (visos žemyn nukreiptos apkrovos kairiau pjūvio)

V_x = 18 − 6·5 = −12 kN

Atsakymas

V_x = −12 kN

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: E (x = 4 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 26,5 kN, R₂ = 116,5 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 20,5, M_C = 29, M_D = −24,5, M_E = −90 kN·m, M_F = −45, M_G = 0

Atsakymas

Žymė E: M_E = −90 kN·m

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 35,15 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 220·30 = 6600 mm², y_f = 220 + 30/2 = 235 mm

sienelė: A_w = 10·220 = 2200 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6600·235 + 2200·110)/8800 = 203,8 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 220·30³/12 + 6600·(235 − 203,8)² = 6,94 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 10·220³/12 + 2200·(110 − 203,8)² = 2,821 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,94 × 10⁶ + 2,821 × 10⁷ = 3,515 × 10⁷ mm⁴ = 35,15 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 35,15 × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_max = 21,98 MPa

Išorinis stačiakampis atėmus dvi šonines išpjovas

Abi išpjovos kartu yra (B − t_w) pločio ir h_w = H − 2t_f aukščio, o jų ašis ta pati – x.

h_w = 340 − 2·20 = 300 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (200·340³ − 188·300³)/12

I_x = 2,321 × 10⁸ mm⁴

Lenkimo įtempis

y = 170 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·170/2,321 × 10⁸ = 21,98 MPa

Atsakymas

σ_max = 21,98 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics