Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.
Sijų atramų reakcijos
Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d
Metodas
Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.
Santvara: mazgų metodas
Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas
Metodas
Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.
Rėmai ir mechanizmai
Kiekvieno strypo pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas
jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga
vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis
F = √(Fx² + Fy²)
Svertas, replės, kampinis svertas
Fin·a = Fout·b
Alkūninis mechanizmas
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Metodas
Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.
Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8
Metodas
Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.
Svorio centras ir inercijos momentas
Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Uždaviniai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis
Raskite kampą θ tarp vektorių a = (6, 6, 1) ir b = (−1, 6, 4) laipsniais.
a = (6, 6, 1)b = (−1, 6, 4)
θ = °
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus
Vienetinis vektorius n̂ statmenas abiem vektoriams a = (4, −1, 2) ir b = (2, 1, −4) ir turi teigiamą z komponentę. Raskite jo y komponentę n̂y.
a = (4, −1, 2)b = (2, 1, −4)n̂z > 0
n̂y =
3.Sijų atramų reakcijosVidutinis
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 2,5 m atstumu nuo A, ir jėgų pora M (prieš laikrodžio rodyklę), esanti 1 m atstumu nuo A. Raskite vertikaliąją reakciją RA, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.
L = 4 mP = 50 kN ties 2,5 mM = 40 kN·m (prieš laikrodžio rodyklę) ties 1 m
RA = kN
4.Sijų atramų reakcijosSunkus
Gembinė sija taške A įtvirtinta sienoje. Ją veikia tiesiškai kintanti apkrova, kuri ties siena lygi nuliui ir didėja iki 12 kN/m laisvajame gale B, bei sutelktoji jėga P, esanti 7 m atstumu nuo sienos. Raskite reakcijos momento sienoje didumą MA.
L = 8 mw0 = 12 kN/mP = 40 kN ties 7 m
MA = kN·m
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
Mazgų metodu raskite jėgą FAB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.
tarpatramis = 6 maukštis = 2 mB yra 2 m nuo Avertikalioji apkrova = 15 kN
FAB = kN
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.
Parodytas kampinis svertas sukasi apie šarnyrą O. Vertikali 80 N jėga taške A (200 mm nuo O) subalansuota horizontalia jėga taške B (80 mm virš O). Raskite šarnyro reakcijos didumą FO.
F = 80 NOA = 200 mmOB = 80 mm
FO = N
8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus
Parodyto sieninio kronšteino sija AB šarnyru pritvirtinta taške A ir paremta atspara CD (C yra 0,8 m žemiau A). Sija per visą ilgį apkrauta tolygiąja 1,5 kN/m apkrova, o laisvajame gale B – 2 kN taškine apkrova. Raskite jėgą FCD atsparoje.
w = 1,5 kN/mP = 2 kNAD = 2 mAB = 3 mAC = 0,8 m
FCD = kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.
L = 8 mw = 3 kN/m nuo 0 iki 8 mx = 5 m
Mx = kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą Mmax.
L = 6 mP = 80 kN ties 1,5 mw = 2 kN/m nuo 0 iki 6 m
Mmax = kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
Lovinis skerspjūvis atvira puse į viršų: 240 mm pločio pagrindo plokštė su dviem vertikaliomis lentynomis, bendrasis aukštis 180 mm. Pagrindo ir lentynų storis vienodas – 14 mm. Raskite svorio centro aukštį ȳ virš apatinės kraštinės.
b = 240 mmh = 180 mmt = 14 mm
ȳ = mm
12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
Ketaus sija turi pavaizduotą tėjinį skerspjūvį, lentyna viršuje. Leistinieji įtempiai: 35 MPa tempiant ir 90 MPa gniuždant. Raskite didžiausią teigiamą lenkimo momentą Mallow, kurį sija gali atlaikyti.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Skaliarinė sandauga
a·b = 6·(−1) + 6·6 + 1·4 = 34
Moduliai
|a| = √(6² + 6² + 1²) = 8,544
|b| = √((−1)² + 6² + 4²) = 7,28
Kampas
cos θ = 34/(8,544·7,28) = 0,5466
θ = arccos(0,5466) = 56,87°
Atsakymas
θ = 56,87°
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: n̂y = 0,9535
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Vektorinė sandauga
(a × b)x = aybz − azby = (−1)·(−4) − 2·1 = 2
(a × b)y = azbx − axbz = 2·2 − 4·(−4) = 20
(a × b)z = axby − aybx = 4·1 − (−1)·2 = 6
Normalizuokite
a × b z komponentė jau teigiama.
|a × b| = √(2² + 20² + 6²) = 20,98
n̂ = (2, 20, 6)/20,98 = (0,09535, 0,9535, 0,286)
n̂y = 0,9535
Atsakymas
n̂y = 0,9535
3.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RA = 28,75 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.
Momentai A atžvilgiu
Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.
ΣMA = 0: RB·4 − 50·2,5 + 40 = 0
RB = 85/4 = 21,25 kN
Vertikalioji pusiausvyra
RA = 50 − 21,25 = 28,75 kN
Atsakymas
RA = 28,75 kN
Neigiama reakcija nukreipta žemyn.
4.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: MA = 536 kN·m
Gembės pusiausvyra: įtvirtinimas gali stumti aukštyn ir priešintis posūkiui, todėl jame atsiranda vertikalioji reakcija RA ir reakcijos momentas MA. ΣFy = 0 duoda RA, o momentai sienos atžvilgiu duoda MA = Σ(apkrova × atstumas nuo sienos). Išskirstytoji apkrova veikia kaip jos atstojamoji apkrovos diagramos svorio centre.
Trikampės apkrovos atstojamoji
W = ½·12·8 = 48 kN
x̄ = 2L/3 = 5,333 m
Momentas sienos atžvilgiu
MA = W·x̄ + P·a = 48·5,333 + 40·7 = 536 kN·m
Atsakymas
MA = 536 kN·m
5.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: FAB = −14,14 kN
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·6 = 15·2 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 5 = 10 kN
Mazgas A
Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.
sin α = 2/2,828 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −10/0,7071 = −14,14 kN
Atsakymas
FAB = −14,14 kN (gniuždymas)
6.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: elementas BF
Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.
Mazgas B
AB ir BC yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik BF.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Patikrinkite mazgų metodu
Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).
Mechanizmai: replės, svertai, jungčių sistemos ir spaustuvai įėjimo jėgą paverčia didesne ar kitos krypties išėjimo jėga. Vieną dalį nubraižykite kaip laisvąjį kūną ir imkite momentus jos sukimosi ašies atžvilgiu: šarnyro jėga iškrenta, o Fin·a = Fout·b duoda mechaninį išlošį a/b. Šarnyro jėgą tada gaunate iš ΣF = 0 tai pačiai daliai. Alkūniniame mechanizme dvi jungtys susitinka mažu kampu θ; kiekviena jungtis yra dviejų jėgų strypas, todėl maža jėga F sandūroje sukuria dideles jungčių jėgas F/(2 sin θ) ir spaudimo jėgą F/(2 tan θ).
Jėga taške B
Q = 80·200/80 = 200 N
Šarnyro reakcija
Ox = 200 N, Oy = 80 N
FO = √(200² + 80²) = 215,4 N
Atsakymas
FO = 215,4 N
8.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: FCD = 17,17 kN
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Tolygiosios apkrovos atstojamoji
w·L = 1,5·3 = 4,5 kN ties 1,5 m
Sijos momentai taško A atžvilgiu
FCD·0,3714·2 = 4,5·1,5 + 2·3 = 12,75 kN·m
FCD = 17,17 kN
Atsakymas
FCD = 17,17 kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Mx = 22,5 kN·m
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.
Atramų reakcijos
Visos sijos pusiausvyra.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, veikianti taške x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 3·8·4
RB = 96/8 = 12 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 12 = 12 kN
Perpjaukite ties x = 5 m ir palikite kairiąją dalį
Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.
M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 12·5 − 3·5·2,5 = 22,5 kN·m
Atsakymas
Mx = 22,5 kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Mmax = 96,75 kN·m
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.
Atramų reakcijos
Visos sijos pusiausvyra.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, veikianti taške x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 80·1,5 + 2·6·3
RB = 156/6 = 26 kN
ΣFy = 0: RA = 92 − 26 = 66 kN
Kur V = 0?
V(1,5⁻) = RA − w·1,5 = 63 kN
V(1,5⁺) = 63 − 80 = −17 kN
Skersinė jėga keičia ženklą ties apkrova, todėl maksimumas yra po apkrova.
Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.
Padalykite į stačiakampius
Pagrindą imkite viso pločio, o dvi lentynas virš jo (aukštis h − t), kad niekas nebūtų įskaičiuota du kartus.
bazė: A1 = 240·14 = 3360 mm², y1 = 7 mm
dvi lentynos: A2 = 2·14·166 = 4648 mm², y2 = 14 + 166/2 = 97 mm
Svorio centras
ȳ = (3360·7 + 4648·97)/8008 = 59,24 mm
Atsakymas
ȳ = 59,24 mm
12.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: Mallow = 8,97 kN·m
Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.