Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 31, 49, 52, 57, 49, 41.

n = 6

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 20. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 68?

μ = 60σ = 20x = 68

P =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,25, 0,3, 0,3, 0,05

Var(X) =

4.TikimybėSunkus

Teste yra 11 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,5, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 4?

n = 11p = 0,5k = 4

P =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,9803. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,9803

z =

6.Normalusis skirstinysSunkus

baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 95 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 500 hσ = 40 h95%

x = h

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 30 telefonų, vidurkis 88,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 18 h. 2 modelis: 40 telefonų, vidurkis 102,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 15 h. Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n₁ = 30x̄₁ = 88,5 hσ₁ = 18 hn₂ = 40x̄₂ = 102,5 hσ₂ = 15 h95%

viršutinis rėžis = h

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

16 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 10,9 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 15, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 6,262, o 2,5 % – aukščiau 27,488.

n = 16s = 10,9 µmχ² = 6,262, 27,488

σ = µm

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

100 studentų imties vidutinis rezultatas – 201,7, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 201,7s = 8n = 100

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Klinikiniame tyrime pasveiksta 195 iš 300 pacientų, gydytų A būdu, ir 128 iš 250 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 195n₁ = 300x₂ = 128n₂ = 250

z =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5

r =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (15, 78). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(15, 78)

e =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 9,203

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 279/6 = 46,5

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−15,5)² + 2,5² + 5,5² + 10,5² + 2,5² + (−5,5)² = 423,5

Standartinis nuokrypis

s = √(423,5/5) = 9,203

Atsakymas

s = 9,203

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,3446

Standartizuokite

z = 0,4

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Atsakymas

P = 0,3446

3.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 1,147

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 1·0,1 + 2·0,25 + 3·0,3 + 4·0,3 + 5·0,05 = 2,95

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,25 + 9·0,3 + 16·0,3 + 25·0,05 = 9,85

Dispersija

Var(X) = 9,85 − 2,95² = 1,147

Atsakymas

Var(X) = 1,147

4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,1611

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binominė formulė

P(X = 4) = 330·0,5⁴·0,5⁷ = 330·0,0625·0,007813 = 0,1611

Atsakymas

P = 0,1611

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = −2,06

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,9803 = 0,0197

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,0197 ir nuskaitykite z.

z = −2,06

Atsakymas

z = −2,06

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 566 h

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,95

z iš lentelės

z ≈ 1,64

Atgal į pradinius vienetus

x = 500 + 1,64·40 = 566 h

Atsakymas

x = 566 h

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = −6,057 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 88,5 − 102,5 = −14

Standartinė paklaida

SE = √(18²/30 + 15²/40) = 4,053

Paklaidos riba

E = 1,96·4,053 = 7,943

Intervalas

−14 ± 7,943 → [−21,94, −6,057]

Atsakymas

viršutinis rėžis = −6,057 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: σ = 8,052 µm

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 15·10,9² = 1782

σ² rėžiai

1782/27,488 = 64,83

1782/6,262 = 284,6

σ rėžis

σ = √64,83 = 8,052 µm

Atsakymas

σ = 8,052 µm

σ 95 % intervalas: [8,052, 16,87] µm.

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,125

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8

Testo statistika

t = (201,7 − 200)/0,8 = 2,125

Atsakymas

t = 2,125

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = 3,273

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Imčių dalys

p̂₁ = 195/300 = 0,65

p̂₂ = 128/250 = 0,512

p̂ = 323/550 = 0,5873

Standartinė paklaida pagal H₀

SE = √(0,5873·0,4127·(1/300 + 1/250)) = 0,04216

Testo statistika

z = (0,65 − 0,512)/0,04216 = 3,273

Atsakymas

z = 3,273

|z| > 1,96, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9669

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 434/5 = 86,8

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 218

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1271

Koreliacijos koeficientas

r = 218/√(40·1271) = 0,9669

Atsakymas

r = 0,9669

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = −4,376

Vidurkiai

x̄ = 114/6 = 19

ȳ = 653/6 = 108,8

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 463

Regresijos tiesė

b = 463/70 = 6,614

a = 108,8 − 6,614·19 = −16,84

ŷ = −16,84 + 6,614·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = −16,84 + 6,614·15 = 82,38

Liekana

e = 78 − 82,38 = −4,376

Atsakymas

e = −4,376

Taškas yra po tiese.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1