Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
2Uždaviniai
1.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 47, 48, 13, 15, 52.
n = 5
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 60. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 560?
μ = 500σ = 60x = 560
P =
3.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,1, 0,35, 0,25
σ =
4.TikimybėSunkus
X turi parodytą skirstinį, o Y = 10X + 4. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,25, 0,2, 0,25Y = 10X + 4
σY =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,0793. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,0793
z =
6.Normalusis skirstinysSunkus
baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 60 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 500 hσ = 40 h60%
x = h
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
30 elementų imties vidurkis – 96,5, standartinis nuokrypis s = 10. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 30x̄ = 96,5s = 1099%t(29) = 2,756
E =
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
15 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 9,5 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 14, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 5,629, o 2,5 % – aukščiau 26,119.
n = 15s = 9,5 µmχ² = 5,629, 26,119
σ = µm
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
16 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas −3,15, o skirtumų standartinis nuokrypis 9,7. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.
n = 16d̄ = −3,15sd = 9,7
t =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 5 vienetų vidurkio poslinkį su 95 % galia. Standartinis nuokrypis 9. Raskite mažiausią imties dydį n.
α = 0,01galia = 95%δ = 5σ = 9zα = 2,326zβ = 1,645
n =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6
r =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 10?
n = 6ŷ = 10
x =
3Tirpalai
1.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 19,27
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 175/5 = 35
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = 12² + 13² + (−22)² + (−20)² + 17² = 1486
Standartinis nuokrypis
s = √(1486/4) = 19,27
Atsakymas
s = 19,27
2.Aprašomoji statistika
Atsakymas: P = 0,1587
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 1
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
Atsakymas
P = 0,1587
3.Tikimybė
Atsakymas: σ = 11,61
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 10·0,3 + 20·0,1 + 30·0,35 + 40·0,25 = 25,5
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 100·0,3 + 400·0,1 + 900·0,35 + 1600·0,25 = 785
Dispersija
Var(X) = 785 − 25,5² = 134,8
σ = √134,8 = 11,61
Atsakymas
σ = 11,61
4.Tikimybė
Atsakymas: σY = 11,58
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 1,4, Var(X) = 1,34, σX = 1,158
Tiesinis pokytis
σY = |10|·1,158 = 11,58
Atsakymas
σY = 11,58
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 10·1,4 + 4 = 18.
5.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 1,41
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = 1 − 0,0793 = 0,9207
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,9207 ir nuskaitykite z.
z = 1,41
Atsakymas
z = 1,41
6.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 490 h
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,4
z iš lentelės
z ≈ −0,25
Atgal į pradinius vienetus
x = 500 − 0,25·40 = 490 h
Atsakymas
x = 490 h
7.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 5,032
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 29, t = 2,756
Paklaidos riba
E = 2,756·10/√30 = 5,032
Atsakymas
E = 5,032
8.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 6,955 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 14·9,5² = 1264
σ² rėžiai
1264/26,119 = 48,37
1264/5,629 = 224,5
σ rėžis
σ = √48,37 = 6,955 µm
Atsakymas
σ = 6,955 µm
σ 95 % intervalas: [6,955, 14,98] µm.
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −1,299
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Vidutinio skirtumo standartinė paklaida
SE = 9,7/√16 = 2,425
Testo statistika
t = −3,15/2,425 = −1,299
Atsakymas
t = −1,299
Kai df = 15, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,131; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 52
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.
Išreikškite n
n = ((2,326 + 1,645)·9/5)² = 51,09
Apvalinkite aukštyn
n = 52
Atsakymas
n = 52
11.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,8352
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 255/6 = 42,5
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 34,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 97,5
Koreliacijos koeficientas
r = 34,5/√(17,5·97,5) = 0,8352
Atsakymas
r = 0,8352
12.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 2,885
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 145/6 = 24,17
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 241
Regresijos tiesė
b = 241/70 = 3,443
a = 24,17 − 3,443·7 = 0,06667
ŷ = 0,06667 + 3,443·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (10 − 0,06667)/3,443 = 2,885
Atsakymas
x = 2,885
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1