Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 23, 37, 51, 36, 51, 27, 19.

n = 7

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 15. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 115?

μ = 100σ = 15x = 115

P =

3.TikimybėVidutinis

Simetriškas kauliukas metamas 5 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?

n = 5

P =

4.TikimybėSunkus

Teste yra 11 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,4, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 1?

n = 11p = 0,4k = 1

P =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Kokia dalis reikšmių yra tarp 420 ir 508 h? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 500σ = 40x₁ = 420x₂ = 508

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 95 % reikšmių (95-asis procentilis).

μ = 32σ = 6P = 95%

x = min

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 60 telefonų, vidurkis 122,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 12 h. 2 modelis: 60 telefonų, vidurkis 132,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 3 h. Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n₁ = 60x̄₁ = 122,5 hσ₁ = 12 hn₂ = 60x̄₂ = 132,5 hσ₂ = 3 h99%

E = h

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 33. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2?

σ = 33E = 295%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

64 studentų imties vidutinis rezultatas – 68,5, imties standartinis nuokrypis – 20. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 68,5s = 20n = 64

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas H₀: μ = 100 prieš H₁: μ < 100 atliekamas, kai α = 0.01, su 36 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 6. Iš tikrųjų vidurkis lygus 98.2. Raskite II rūšies klaidos tikimybę β procentais.

μ₀ = 100μ = 98,2σ = 6n = 36α = 0,01

β = %

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5

r =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (5, 47). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(5, 47)

e =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 12,79

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 244/7 = 34,86

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−11,86)² + 2,143² + 16,14² + 1,143² + 16,14² + (−7,857)² + (−15,86)² = 980,9

Standartinis nuokrypis

s = √(980,9/6) = 12,79

Atsakymas

s = 12,79

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,1587

Standartizuokite

z = 1

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Atsakymas

P = 0,1587

3.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,5981

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Priešingas įvykis

P(nėra šešeto) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Atsakymas

P = 0,5981

4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,02661

Binominė formulė

P(X = 1) = 11·0,4¹·0,6¹⁰ = 11·0,4·0,006047 = 0,02661

Atsakymas

P = 0,02661

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,5565

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (420 − 500)/40 = −2

z₂ = (508 − 500)/40 = 0,2

Plotas tarp

P = Φ(0,2) − Φ(−2) = 0,5793 − 0,02275 = 0,5565

Atsakymas

P = 0,5565

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 41,87 min

Procentilio z

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Atgal į x

x = 32 + 1,645·6 = 41,87 min

Atsakymas

x = 41,87 min

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 4,114 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 122,5 − 132,5 = −10

Standartinė paklaida

SE = √(12²/60 + 3²/60) = 1,597

Paklaidos riba

E = 2,576·1,597 = 4,114

Atsakymas

E = 4,114 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 1046

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (1,96·33/2)² = 1046

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 1046

Atsakymas

n = 1046

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,6

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 20/√64 = 20/8 = 2,5

Testo statistika

t = (68,5 − 75)/2,5 = −2,6

Atsakymas

t = −2,6

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: β = 70,06 %

Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritinis imties vidurkis

SE = 6/√36 = 1

x̄_c = 100 − 2,326·1 = 97,67

z esant tikrajam vidurkiui

z = (97,67 − 98,2)/1 = −0,526

II rūšies klaida

galia = P(Z < −0.526) = 29.94%

β = 100% − 29,94% = 70,06%

Atsakymas

β = 70,06%

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9936

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 314/5 = 62,8

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 198

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 992,8

Koreliacijos koeficientas

r = 198/√(40·992,8) = 0,9936

Atsakymas

r = 0,9936

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = −4,638

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 364/6 = 60,67

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 316

Regresijos tiesė

b = 316/70 = 4,514

a = 60,67 − 4,514·7 = 29,07

ŷ = 29,07 + 4,514·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 29,07 + 4,514·5 = 51,64

Liekana

e = 47 − 51,64 = −4,638

Atsakymas

e = −4,638

Taškas yra po tiese.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1