Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
2Uždaviniai
1.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 34, 24, 10, 48, 48, 25, 50.
n = 7
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 12. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 78?
μ = 60σ = 12x = 78
P =
3.TikimybėVidutinis
Maišelyje yra 3 raudoni ir 3 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?
3 / 3
P =
4.TikimybėSunkus
X turi parodytą skirstinį, o Y = 0,5X + 1. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,2, 0,2, 0,3, 0,25Y = 0,5X + 1
σY =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Kokia dalis reikšmių yra tarp 26,3 ir 42,8 min? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 32σ = 6x1 = 26,3x2 = 42,8
P =
6.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 10 % reikšmių (10-asis procentilis).
μ = 250σ = 5P = 10%
x = g
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 80 telefonų, vidurkis 77 h, žinomas standartinis nuokrypis 8 h. 2 modelis: 40 telefonų, vidurkis 72,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 6 h. Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
n₁ = 80x̄₁ = 77 hσ₁ = 8 hn₂ = 40x̄₂ = 72,5 hσ₂ = 6 h90%
apatinis rėžis = h
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 6 sklypų, vidutinis derlius 15 kg, standartinis nuokrypis 9,5 kg. 2 sklypų grupė: 15 sklypų, vidurkis 14 kg, standartinis nuokrypis 5,5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.
n₁ = 6x̄₁ = 15s₁ = 9,5n₂ = 15x̄₂ = 14s₂ = 5,595%t(19) = 2,093
viršutinis rėžis = kg
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
25 studentų imties vidutinis rezultatas – 95,84, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 95,84s = 8n = 25
t =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
25 matavimų imties vidurkis – 197,8. Populiacijos standartinis nuokrypis – 8. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.
x̄ = 197,8σ = 8n = 2599%
L =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5Σx = 30Σy = 111Σx² = 220Σy² = 3007Σxy = 812
r =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (2,5, 19). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 6(2,5, 19)
e =
3Tirpalai
1.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 15,3
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 239/7 = 34,14
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = (−0,1429)² + (−10,14)² + (−24,14)² + 13,86² + 13,86² + (−9,143)² + 15,86² = 1405
Standartinis nuokrypis
s = √(1405/6) = 15,3
Atsakymas
s = 15,3
2.Aprašomoji statistika
Atsakymas: P = 0,9332
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 1,5
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Atsakymas
P = 0,9332
3.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,2
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pirmas ir antras traukimas
P = 3/6 · 2/5 = 6/30 = 0,2
Atsakymas
P = 0,2
4.Tikimybė
Atsakymas: σY = 0,6021
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 3,5, Var(X) = 1,45, σX = 1,204
Tiesinis pokytis
σY = |0,5|·1,204 = 0,6021
Atsakymas
σY = 0,6021
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 0,5·3,5 + 1 = 2,75.
5.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,793
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (26,3 − 32)/6 = −0,95
z₂ = (42,8 − 32)/6 = 1,8
Plotas tarp
P = Φ(1,8) − Φ(−0,95) = 0,9641 − 0,1711 = 0,793
Atsakymas
P = 0,793
6.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 243,6 g
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
Atgal į x
x = 250 + −1,282·5 = 243,59 g
Atsakymas
x = 243,59 g
7.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 2,355 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 77 − 72,5 = 4,5
Standartinė paklaida
SE = √(8²/80 + 6²/40) = 1,304
Paklaidos riba
E = 1,645·1,304 = 2,145
Intervalas
4,5 ± 2,145 → [2,355, 6,645]
Atsakymas
apatinis rėžis = 2,355 h
Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.
8.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 7,86 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (5·9,5² + 14·5,5²)/19 = 46,04
sp = 6,785
Paklaidos riba
E = 2,093·6,785·√(1/6 + 1/15) = 6,86
Intervalas
1 ± 6,86 → [−5,86, 7,86]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 7,86 kg
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −2,6
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Standartinė paklaida
SE = 8/√25 = 8/5 = 1,6
Testo statistika
t = (95,84 − 100)/1,6 = −2,6
Atsakymas
t = −2,6
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: L = 193,7
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 2,576·8/√25 = 4,122
Intervalo rėžis
L = 197,8 − 4,122 = 193,7
Atsakymas
L = 193,7
11.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9908
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 812 − 30·111/5 = 146
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 3007 − 111²/5 = 542,8
Koreliacijos koeficientas
r = 146/√(40·542,8) = 0,9908
Atsakymas
r = 0,9908
12.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = −3,6
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 114/6 = 19
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −63
Regresijos tiesė
b = −63/17,5 = −3,6
a = 19 − (−3,6)·3,5 = 31,6
ŷ = 31,6 − 3,6·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 31,6 + (−3,6)·2,5 = 22,6
Liekana
e = 19 − 22,6 = −3,6
Atsakymas
e = −3,6
Taškas yra po tiese.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1