Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis
152025303540455055

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 15, 55, 23, 12, 45, 44.

n = 6
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 5. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 77,5?

μ = 70σ = 5x = 77,5
P =
3.TikimybėVidutinis
n = 14k = 2N = ?

Keliais būdais N iš 14 žmonių grupės galima išrinkti 2 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.

n = 14k = 2
N =
4.TikimybėSunkus
€p(x)−50,8450,15450,01

Žaidimo kaina yra €5. Laimite €10 su tikimybe 0,15 ir €50 su tikimybe 0,01; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €5€10: p = 0,15€50: p = 0,01
E(G) = €
5.Normalusis skirstinysVidutinis
244251P = ?

Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Kokia dalis reikšmių yra tarp 244 ir 251 g? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 250σ = 5x1 = 244x2 = 251
P =
6.Normalusis skirstinysSunkus
μ = 250x = ?99%

Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 99 % reikšmių (99-asis procentilis).

μ = 250σ = 5P = 99%
x = g
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
x̄E₁ = 8,790%, n = 100x̄E₂ = ?95%, n = 100

Vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 100 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 8,7. Kokia yra tų pačių duomenų 95 % intervalo paklaidos riba E₂?

90%n₁ = 100E₁ = 8,795%
E₂ =
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
n = 16σ = ?Us = 2,895%

16 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 2,8 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 15, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 6,262, o 2,5 % – aukščiau 27,488.

n = 16s = 2,8 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
−1,92p = ?

Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 80; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 10. Atsitiktinės 25 stebėjimų imties vidurkis 76,16. Tikrinkite H₀: μ = 80 prieš H₁: μ < 80. Raskite p reikšmę p.

μ₀ = 80σ = 10n = 25x̄ = 76,16H₁: μ < μ₀
p =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 3α = 0,01βσ = 8, galia 80%, n = ?

Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 3 vienetų vidurkio poslinkį su 80 % galia. Standartinis nuokrypis 8. Raskite mažiausią imties dydį n.

α = 0,01galia = 80%δ = 3σ = 8zα = 2,326zβ = 0,842
n =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy360469572682790xy4660708090

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5
r =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy2384466628751085xy510406080x = 3

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (3, 45). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 5(3, 45)
e =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 17,95

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 194/6 = 32,33

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−17,33)² + 22,67² + (−9,333)² + (−20,33)² + 12,67² + 11,67² = 1611

Standartinis nuokrypis

s = √(1611/5) = 17,95

Atsakymas

s = 17,95
2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,9332

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = 1,5

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332

Atsakymas

P = 0,9332
3.Tikimybė

Atsakymas: N = 91

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Deriniai

C(14, 2) = (14·13)/(2·1) = 91

Atsakymas

N = 91
4.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = −3 €

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Grynosios baigtys

G: 5 (p = 0,15), 45 (p = 0,01), −5 (p = 0,84)

Laukiamoji vertė

E(G) = 5·0,15 + 45·0,01 − 5·0,84 = −3 €

Atsakymas

E(G) = −3 €

Neigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai prarandate pinigus.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,4642

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (244 − 250)/5 = −1,2
z₂ = (251 − 250)/5 = 0,2

Plotas tarp

P = Φ(0,2) − Φ(−1,2) = 0,5793 − 0,1151 = 0,4642

Atsakymas

P = 0,4642
6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 261,6 g

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Atgal į x

x = 250 + 2,326·5 = 261,63 g

Atsakymas

x = 261,63 g
7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E₂ = 10,37

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Paklaidos ribų santykis

E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(100/100) = 1,191

Nauja paklaidos riba

E₂ = 8,7·1,191 = 10,37

Atsakymas

E₂ = 10,37
8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: σ = 2,068 µm

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 15·2,8² = 117,6

σ² rėžiai

117,6/27,488 = 4,278
117,6/6,262 = 18,78

σ rėžis

σ = √4,278 = 2,068 µm

Atsakymas

σ = 2,068 µm

σ 95 % intervalas: [2,068, 4,334] µm.

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: p = 0,02743

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Testo statistika

SE = σ/√n = 10/√25 = 2
z = (76,16 − 80)/2 = −1,92

Uodegos plotas

Φ(1,92) = 0,9726
1 − Φ(1,92) = 0,0274

p reikšmė

p = 0,02743

Atsakymas

p = 0,02743

p ≤ 0,05, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 72

Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.

Išreikškite n

n = ((2,326 + 0,842)·8/3)² = 71,37

Apvalinkite aukštyn

n = 72

Atsakymas

n = 72
11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9905

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 373/5 = 74,6

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 73
Syy = Σ(y − ȳ)² = 543,2

Koreliacijos koeficientas

r = 73/√(10·543,2) = 0,9905

Atsakymas

r = 0,9905
12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = 2,25

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 306/5 = 61,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 246

Regresijos tiesė

b = 246/40 = 6,15
a = 61,2 − 6,15·6 = 24,3
ŷ = 24,3 + 6,15·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 24,3 + 6,15·3 = 42,75

Liekana

e = 45 − 42,75 = 2,25

Atsakymas

e = 2,25

Taškas yra virš tiesės.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1