Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis
303540455055

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 29, 59, 30, 58, 37, 28, 32.

n = 7
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 5. Raskite rezultato 73 z įvertį z.

μ = 70σ = 5x = 73
z =
3.TikimybėVidutinis
P(bent vienas šešetas) = ??1?2P(šešetas) = 1/6 kiekvienu metimu

Simetriškas kauliukas metamas 2 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?

n = 2
P =
4.TikimybėSunkus
n = 11, p = 0,4: P(X ≤ 1) = ?k01234567891011

Tikrinami 11 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,4. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 11p = 0,4
P =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
−3−2−10123znuspalvintas plotas tarp −z ir z = 0,3759

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,3759. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,3759
z =
6.Normalusis skirstinysSunkus
10 g0X − Y?

Gaminio masė X iš 1 linijos ir Y iš 2 linijos yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 500 g ir standartinis nuokrypis 8 g, Y vidurkis 490 g ir standartinis nuokrypis 6 g. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
x̄E₁ = 4,790%, n = 64x̄E₂ = ?99%, n = 576

Vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 64 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 4,7. Kokia yra 99 % intervalo, pagrįsto 576 stebėjimais, paklaidos riba E₂?

90%n₁ = 64E₁ = 4,799%n₂ = 576
E₂ =
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
μ₁ − μ₂, t(12) = 3,0550L = ?Ux̄₁ − x̄₂E99%

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 9 sklypų, vidutinis derlius 31,5 kg, standartinis nuokrypis 4,5 kg. 2 sklypų grupė: 5 sklypų, vidurkis 40,5 kg, standartinis nuokrypis 5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n₁ = 9x̄₁ = 31,5s₁ = 4,5n₂ = 5x̄₂ = 40,5s₂ = 599%t(12) = 3,055
apatinis rėžis = kg
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
t −1,9901,99

81 studentų imties vidutinis rezultatas – 495,1, imties standartinis nuokrypis – 20. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 495,1s = 20n = 81
t =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 1,5α = 0,05βσ = 5, galia 95%, n = ?

Vienpusis z testas, kai α = 0,05, turi aptikti 1,5 vienetų vidurkio poslinkį su 95 % galia. Standartinis nuokrypis 5. Raskite mažiausią imties dydį n.

α = 0,05galia = 95%δ = 1,5σ = 5zα = 1,645zβ = 1,645
n =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy2741462182710371240xy5102040

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 6
r² =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy353450559664769xy46506070x = 6,5

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 6,5.

n = 5x = 6,5
ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 13,64

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 273/7 = 39

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−10)² + 20² + (−9)² + 19² + (−2)² + (−11)² + (−7)² = 1116

Standartinis nuokrypis

s = √(1116/6) = 13,64

Atsakymas

s = 13,64
2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = 0,6

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = (73 − 70)/5 = 0,6

Atsakymas

z = 0,6
3.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,3056

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Priešingas įvykis

P(nėra šešeto) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Atsakymas

P = 0,3056
4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,03023

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,611 = 0,003628
P(X = 1) = 11·0,4·0,610 = 0,02661

Sudėkite

P = 0,003628 + 0,02661 = 0,03023

Atsakymas

P = 0,03023
5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 0,49

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,3759)/2 = 0,6879

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,6879 ir nuskaitykite z.

z = 0,49

Atsakymas

z = 0,49
6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8413

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Standartizuokite

z = (0 − 10)/10 = −1

Tikimybė

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Atsakymas

P = 0,8413
7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E₂ = 2,453

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Paklaidos ribų santykis

E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(64/576) = 0,522

Nauja paklaidos riba

E₂ = 4,7·0,522 = 2,453

Atsakymas

E₂ = 2,453
8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = −16,96 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Jungtinis standartinis nuokrypis

sp² = (8·4,5² + 4·5²)/12 = 21,83
sp = 4,673

Paklaidos riba

E = 3,055·4,673·√(1/9 + 1/5) = 7,962

Intervalas

−9 ± 7,962 → [−16,96, −1,038]

Atsakymas

apatinis rėžis = −16,96 kg
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,205

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222

Testo statistika

t = (495,1 − 500)/2,222 = −2,205

Atsakymas

t = −2,205
t0,025; df = 80 = 1,99

|t| > 1,99, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 121

Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.

Išreikškite n

n = ((1,645 + 1,645)·5/1,5)² = 120,3

Apvalinkite aukštyn

n = 121

Atsakymas

n = 121
11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9898

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 146/6 = 24,33

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 240
Syy = Σ(y − ȳ)² = 831,3

Determinacijos koeficientas

r² = 240²/(70·831,3) = 0,9898

Atsakymas

r² = 0,9898

Apie 98,98% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 65,9

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 295/5 = 59

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 46

Regresijos tiesė

b = 46/10 = 4,6
a = 59 − 4,6·5 = 36
ŷ = 36 + 4,6·x

Prognozė

ŷ = 36 + 4,6·6,5 = 65,9

Atsakymas

ŷ = 65,9

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1