Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis
1015202530354045505560

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 27, 60, 44, 59, 10, 14, 51.

n = 7
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 15. Raskite rezultato 77,5 z įvertį z.

μ = 100σ = 15x = 77,5
z =
3.TikimybėVidutinis
P(bent vienas šešetas) = ??1?2P(šešetas) = 1/6 kiekvienu metimu

Simetriškas kauliukas metamas 2 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?

n = 2
P =
4.TikimybėSunkus
n = 11, p = 0,4: P(X = 5) = ?k01234567891011

Teste yra 11 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,4, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 5?

n = 11p = 0,4k = 5
P =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
−3−2−10123znuspalvintas plotas tarp −z ir z = 0,9615

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9615. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,9615
z =
6.Normalusis skirstinysSunkus
μ = 250x = ?25%

Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 25 % reikšmių (25-asis procentilis).

μ = 250σ = 5P = 25%
x = g
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
μ₁ − μ₂0L = ?Ux̄₁ − x̄₂E99%

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 40 telefonų, vidurkis 45,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 8 h. 2 modelis: 100 telefonų, vidurkis 59 h, žinomas standartinis nuokrypis 17 h. Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n₁ = 40x̄₁ = 45,5 hσ₁ = 8 hn₂ = 100x̄₂ = 59 hσ₂ = 17 h99%
apatinis rėžis = h
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 19, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 299%

Populiacijos standartinis nuokrypis – 19. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2?

σ = 19E = 299%
n =
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
−1,961,96z = ?

Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 80 detalių imties vidutinis ilgis 85 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 19 mm. 2 linija: 50 detalių imties vidurkis 89,1 mm, žinomas standartinis nuokrypis 14 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).

n₁ = 80x̄₁ = 85 mmσ₁ = 19 mmn₂ = 50x̄₂ = 89,1 mmσ₂ = 14 mm
z =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
z −1,9601,96

36 matavimų imties vidurkis – 51,5. Populiacijos standartinis nuokrypis – 15. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.

x̄ = 51,5σ = 15n = 3695%
U =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy34555575696411671373xy510506070

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6
r =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy34654975796311761379xy5106080x = 4

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 4.

n = 6x = 4
ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 20,86

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 265/7 = 37,86

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−10,86)² + 22,14² + 6,143² + 21,14² + (−27,86)² + (−23,86)² + 13,14² = 2611

Standartinis nuokrypis

s = √(2611/6) = 20,86

Atsakymas

s = 20,86
2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −1,5

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = (77,5 − 100)/15 = −1,5

Atsakymas

z = −1,5
3.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,3056

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Priešingas įvykis

P(nėra šešeto) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Atsakymas

P = 0,3056
4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,2207

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binominė formulė

P(X = 5) = 462·0,45·0,66 = 462·0,01024·0,04666 = 0,2207

Atsakymas

P = 0,2207
5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 2,07

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,9615)/2 = 0,9808

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,9808 ir nuskaitykite z.

z = 2,07

Atsakymas

z = 2,07
6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 246,6 g

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Atgal į x

x = 250 + −0,6745·5 = 246,63 g

Atsakymas

x = 246,63 g
7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = −18,96 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 45,5 − 59 = −13,5

Standartinė paklaida

SE = √(8²/40 + 17²/100) = 2,119

Paklaidos riba

E = 2,576·2,119 = 5,458

Intervalas

−13,5 ± 5,458 → [−18,96, −8,042]

Atsakymas

apatinis rėžis = −18,96 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 599

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (2,576·19/2)² = 598,9

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 599

Atsakymas

n = 599
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = −1,412

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Skirtumo standartinė paklaida

SE = √(19²/80 + 14²/50) = √8,433 = 2,904

Testo statistika

z = (85 − 89,1)/2,904 = −1,412

Atsakymas

z = −1,412

|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: U = 56,4

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 1,96·15/√36 = 4,9

Intervalo rėžis

U = 51,5 + 4,9 = 56,4

Atsakymas

U = 56,4
11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9835

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 360/6 = 60

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 184
Syy = Σ(y − ȳ)² = 500

Koreliacijos koeficientas

r = 184/√(70·500) = 0,9835

Atsakymas

r = 0,9835
12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 47,27

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 370/6 = 61,67

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 252

Regresijos tiesė

b = 252/70 = 3,6
a = 61,67 − 3,6·8 = 32,87
ŷ = 32,87 + 3,6·x

Prognozė

ŷ = 32,87 + 3,6·4 = 47,27

Atsakymas

ŷ = 47,27

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1