Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 31, 45, 46, 34, 56, 37.

n = 6

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 12. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 185?

μ = 170σ = 12x = 185

P =

3.TikimybėVidutinis

Keliais būdais N iš 14 žmonių grupės galima išrinkti 4 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.

n = 14k = 4

N =

4.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = 10X + 20. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,3, 0,05, 0,35Y = 10X + 20

σ_Y =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,7923. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,7923

z =

6.Normalusis skirstinysSunkus

suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 85 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 178 cmσ = 7 cm85%

x = cm

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

12 elementų imties vidurkis – 11, standartinis nuokrypis s = 10. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 12x̄ = 11s = 1095%t(11) = 2,201

apatinis rėžis =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 5. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1,5?

σ = 5E = 1,595%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

100 studentų imties vidutinis rezultatas – 119,6, imties standartinis nuokrypis – 4. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 119,6s = 4n = 100

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1,5? Standartinis nuokrypis – 12. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 12E = 1,599%

n =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6Σx = 153Σy = 530Σx² = 4059Σy² = 49078Σxy = 14103

r =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 18,5.

n = 6x = 18,5

ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 9,268

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 249/6 = 41,5

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−10,5)² + 3,5² + 4,5² + (−7,5)² + 14,5² + (−4,5)² = 429,5

Standartinis nuokrypis

s = √(429,5/5) = 9,268

Atsakymas

s = 9,268

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,8944

Standartizuokite

z = 1,25

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Atsakymas

P = 0,8944

3.Tikimybė

Atsakymas: N = 1001

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Deriniai

C(14, 4) = (14·13·12·11)/(4·3·2·1) = 1001

Atsakymas

N = 1001

4.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 12,44

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

X sklaida

μ = 1,45, Var(X) = 1,548, σ_X = 1,244

Tiesinis pokytis

σ_Y = |10|·1,244 = 12,44

Atsakymas

σ_Y = 12,44

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 10·1,45 + 20 = 34,5.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 1,26

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,7923)/2 = 0,8962

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,8962 ir nuskaitykite z.

z = 1,26

Atsakymas

z = 1,26

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 185,3 cm

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,85

z iš lentelės

z ≈ 1,04

Atgal į pradinius vienetus

x = 178 + 1,04·7 = 185,3 cm

Atsakymas

x = 185,3 cm

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 4,646

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 11, t = 2,201

Paklaidos riba

E = 2,201·10/√12 = 6,354

Intervalas

11 ± 6,354 → [4,646, 17,35]

Atsakymas

apatinis rėžis = 4,646

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 43

Išreikškite n

n = (1,96·5/1,5)² = 42,68

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 43

Atsakymas

n = 43

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −1

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4

Testo statistika

t = (119,6 − 120)/0,4 = −1

Atsakymas

t = −1

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 425

Išreikškite n

n = (2,576·12/1,5)² = 424,7

Apvalinkite aukštyn

n = 425

Atsakymas

n = 425

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9853

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 14103 − 153·530/6 = 588

S_xx = 4059 − 153²/6 = 157,5

S_yy = 49078 − 530²/6 = 2261

Koreliacijos koeficientas

r = 588/√(157,5·2261) = 0,9853

Atsakymas

r = 0,9853

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 70,07

Vidurkiai

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 507/6 = 84,5

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 757,5

Regresijos tiesė

b = 757,5/157,5 = 4,81

a = 84,5 − 4,81·21,5 = −18,9

ŷ = −18,9 + 4,81·x

Prognozė

ŷ = −18,9 + 4,81·18,5 = 70,07

Atsakymas

ŷ = 70,07

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1