Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis
2025303540455055

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 20, 21, 44, 54, 23, 56.

n = 6
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 15. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 48?

μ = 60σ = 15x = 48
P =
3.TikimybėVidutinis
raudoni: 4mėlyni: 6

Maišelyje yra 4 raudoni ir 6 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?

4 / 6
P =
4.TikimybėSunkus
n = 11, p = 0,25: P(X = 5) = ?k01234567891011

Teste yra 11 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,25, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 5?

n = 11p = 0,25k = 5
P =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
171185P = ?

Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Kokia dalis reikšmių yra tarp 171 ir 185 cm? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 178σ = 7x1 = 171x2 = 185
P =
6.Normalusis skirstinysSunkus
235240245250255260265gviršus 25%

maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 25 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 250 gσ = 5 g25%
x = g
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 6, s = 1LUx̄ = 77,5E = ?99%

6 elementų imties vidurkis – 77,5, standartinis nuokrypis s = 1. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 6x̄ = 77,5s = 199%t(5) = 4,032
E =
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
n = 30σ = ?Us = 11,895%

30 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 11,8 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 29, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 16,047, o 2,5 % – aukščiau 45,722.

n = 30s = 11,8 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
t −2,13102,131

16 studentų imties vidutinis rezultatas – 493,4, imties standartinis nuokrypis – 12. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 493,4s = 12n = 16
t =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
−1,961,96z = ?

Klinikiniame tyrime pasveiksta 55 iš 100 pacientų, gydytų A būdu, ir 49 iš 80 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 55n₁ = 100x₂ = 49n₂ = 80
z =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy2124166248321037xy51010203040

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 30Σy = 121Σx² = 220Σy² = 3369Σxy = 858
r =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy35155675896611781381xy51050607080ŷ = 59

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 59?

n = 6ŷ = 59
x =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 16,95

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 218/6 = 36,33

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−16,33)² + (−15,33)² + 7,667² + 17,67² + (−13,33)² + 19,67² = 1437

Standartinis nuokrypis

s = √(1437/5) = 16,95

Atsakymas

s = 16,95
2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,2119

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = −0,8

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119

Atsakymas

P = 0,2119
3.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,1333

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pirmas ir antras traukimas

P = 4/10 · 3/9 = 12/90 = 0,1333

Atsakymas

P = 0,1333
4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,0803

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binominė formulė

P(X = 5) = 462·0,255·0,756 = 462·0,0009766·0,178 = 0,0803

Atsakymas

P = 0,0803
5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,6827

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (171 − 178)/7 = −1
z₂ = (185 − 178)/7 = 1

Plotas tarp

P = Φ(1) − Φ(−1) = 0,8413 − 0,1587 = 0,6827

Atsakymas

P = 0,6827
6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 253,4 g

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,75

z iš lentelės

z ≈ 0,67

Atgal į pradinius vienetus

x = 250 + 0,67·5 = 253,4 g

Atsakymas

x = 253,4 g
7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 1,646

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 5, t = 4,032

Paklaidos riba

E = 4,032·1/√6 = 1,646

Atsakymas

E = 1,646
8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: σ = 9,398 µm

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 29·11,8² = 4038

σ² rėžiai

4038/45,722 = 88,32
4038/16,047 = 251,6

σ rėžis

σ = √88,32 = 9,398 µm

Atsakymas

σ = 9,398 µm

σ 95 % intervalas: [9,398, 15,86] µm.

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,2

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 12/√16 = 12/4 = 3

Testo statistika

t = (493,4 − 500)/3 = −2,2

Atsakymas

t = −2,2
t0,025; df = 15 = 2,131

|t| > 2,131, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = −0,8436

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Imčių dalys

p̂₁ = 55/100 = 0,55
p̂₂ = 49/80 = 0,6125
p̂ = 104/180 = 0,5778

Standartinė paklaida pagal H₀

SE = √(0,5778·0,4222·(1/100 + 1/80)) = 0,07409

Testo statistika

z = (0,55 − 0,6125)/0,07409 = −0,8436

Atsakymas

z = −0,8436

|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9941

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

Sxy = 858 − 30·121/5 = 132
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 3369 − 121²/5 = 440,8

Koreliacijos koeficientas

r = 132/√(40·440,8) = 0,9941

Atsakymas

r = 0,9941
12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 6,125

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 390/6 = 65

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 224

Regresijos tiesė

b = 224/70 = 3,2
a = 65 − 3,2·8 = 39,4
ŷ = 39,4 + 3,2·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (59 − 39,4)/3,2 = 6,125

Atsakymas

x = 6,125

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1