Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 43, 16, 25, 37, 11, 40, 14.

n = 7

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 5. Raskite rezultato 176,3 z įvertį z.

μ = 170σ = 5x = 176,3

z =

3.TikimybėVidutinis

Keliais būdais N iš 14 žmonių grupės galima išrinkti 2 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.

n = 14k = 2

N =

4.TikimybėSunkus

Tikrinami 7 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,7. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 7p = 0,7

P =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9756. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,9756

z =

6.Normalusis skirstinysSunkus

IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 30 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 100 tšk.σ = 15 tšk.30%

x = tšk.

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

7 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 5,7, o standartinis nuokrypis 2,1. Raskite vidutinio skirtumo 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 7d̄ = 5,7s_d = 2,199%t(6) = 3,707

apatinis rėžis = mmHg

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

25 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 6,5 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 24, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 12,401, o 2,5 % – aukščiau 39,364.

n = 25s = 6,5 µmχ² = 12,401, 39,364

σ = µm

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 30 detalių imties vidutinis ilgis 148,5 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 7 mm. 2 linija: 50 detalių imties vidurkis 147 mm, žinomas standartinis nuokrypis 4 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).

n₁ = 30x̄₁ = 148,5 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 50x̄₂ = 147 mmσ₂ = 4 mm

z =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

25 matavimų imties vidurkis – 71,5. Populiacijos standartinis nuokrypis – 8. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.

x̄ = 71,5σ = 8n = 2599%

U =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 6

r² =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 44?

n = 5ŷ = 44

x =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 13,38

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 186/7 = 26,57

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 16,43² + (−10,57)² + (−1,571)² + 10,43² + (−15,57)² + 13,43² + (−12,57)² = 1074

Standartinis nuokrypis

s = √(1074/6) = 13,38

Atsakymas

s = 13,38

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = 1,25

Standartizuokite

z = (176,3 − 170)/5 = 1,25

Atsakymas

z = 1,25

3.Tikimybė

Atsakymas: N = 91

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Deriniai

C(14, 2) = (14·13)/(2·1) = 91

Atsakymas

N = 91

4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,003791

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,3⁷ = 0,0002187

P(X = 1) = 7·0,7·0,3⁶ = 0,003572

Sudėkite

P = 0,0002187 + 0,003572 = 0,003791

Atsakymas

P = 0,003791

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 2,25

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,9756)/2 = 0,9878

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,9878 ir nuskaitykite z.

z = 2,25

Atsakymas

z = 2,25

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 92,2 tšk.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,3

z iš lentelės

z ≈ −0,52

Atgal į pradinius vienetus

x = 100 − 0,52·15 = 92,2 tšk.

Atsakymas

x = 92,2 tšk.

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 2,758 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritinė reikšmė

df = 6, t = 3,707

Paklaidos riba

E = 3,707·2,1/√7 = 2,942

Intervalas

5,7 ± 2,942 → [2,758, 8,642]

Atsakymas

apatinis rėžis = 2,758 mmHg

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: σ = 5,075 µm

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 24·6,5² = 1014

σ² rėžiai

1014/39,364 = 25,76

1014/12,401 = 81,77

σ rėžis

σ = √25,76 = 5,075 µm

Atsakymas

σ = 5,075 µm

σ 95 % intervalas: [5,075, 9,043] µm.

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = 1,073

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Skirtumo standartinė paklaida

SE = √(7²/30 + 4²/50) = √1,953 = 1,398

Testo statistika

z = (148,5 − 147)/1,398 = 1,073

Atsakymas

z = 1,073

|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: U = 75,62

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 2,576·8/√25 = 4,122

Intervalo rėžis

U = 71,5 + 4,122 = 75,62

Atsakymas

U = 75,62

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9472

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 113/6 = 18,83

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −37,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 84,83

Determinacijos koeficientas

r² = −37,5²/(17,5·84,83) = 0,9472

Atsakymas

r² = 0,9472

Apie 94,72% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 5,927

Vidurkiai

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 201/5 = 40,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 164

Regresijos tiesė

b = 164/40 = 4,1

a = 40,2 − 4,1·5 = 19,7

ŷ = 19,7 + 4,1·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (44 − 19,7)/4,1 = 5,927

Atsakymas

x = 5,927

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1