Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 33, 54, 39, 37, 55.

n = 5

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 12. Raskite rezultato 152 z įvertį z.

μ = 170σ = 12x = 152

z =

3.TikimybėVidutinis

Keliais būdais N iš 8 žmonių grupės galima išrinkti 5 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.

n = 8k = 5

N =

4.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = 10X + 20. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,35, 0,35, 0,1Y = 10X + 20

σ_Y =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,0132. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,0132

z =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,03 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

skylė: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 100 telefonų, vidurkis 140 h, žinomas standartinis nuokrypis 14 h. 2 modelis: 50 telefonų, vidurkis 145,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 9 h. Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n₁ = 100x̄₁ = 140 hσ₁ = 14 hn₂ = 50x̄₂ = 145,5 hσ₂ = 9 h90%

apatinis rėžis = h

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 11 sklypų, vidutinis derlius 86 kg, standartinis nuokrypis 10 kg. 2 sklypų grupė: 10 sklypų, vidurkis 89,5 kg, standartinis nuokrypis 8,5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n₁ = 11x̄₁ = 86s₁ = 10n₂ = 10x̄₂ = 89,5s₂ = 8,599%t(19) = 2,861

E = kg

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 80; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 40. Atsitiktinės 100 stebėjimų imties vidurkis 88. Tikrinkite H₀: μ = 80 prieš H₁: μ ≠ 80. Raskite p reikšmę p.

μ₀ = 80σ = 40n = 100x̄ = 88H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5? Standartinis nuokrypis – 15. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 15E = 2,595%

n =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 6

r² =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 18?

n = 5ŷ = 18

x =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 10,19

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 218/5 = 43,6

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−10,6)² + 10,4² + (−4,6)² + (−6,6)² + 11,4² = 415,2

Standartinis nuokrypis

s = √(415,2/4) = 10,19

Atsakymas

s = 10,19

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −1,5

Standartizuokite

z = (152 − 170)/12 = −1,5

Atsakymas

z = −1,5

3.Tikimybė

Atsakymas: N = 56

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Deriniai

C(8, 5) = (8·7·6·5·4)/(5·4·3·2·1) = 56

Atsakymas

N = 56

4.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 9,097

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

X sklaida

μ = 1,35, Var(X) = 0,8275, σ_X = 0,9097

Tiesinis pokytis

σ_Y = |10|·0,9097 = 9,097

Atsakymas

σ_Y = 9,097

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 10·1,35 + 20 = 33,5.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 2,22

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,0132 = 0,9868

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,9868 ir nuskaitykite z.

z = 2,22

Atsakymas

z = 2,22

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8849

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm

Standartizuokite

z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2

Tikimybė

P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849

Atsakymas

P = 0,8849

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = −8,612 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 140 − 145,5 = −5,5

Standartinė paklaida

SE = √(14²/100 + 9²/50) = 1,892

Paklaidos riba

E = 1,645·1,892 = 3,112

Intervalas

−5,5 ± 3,112 → [−8,612, −2,388]

Atsakymas

apatinis rėžis = −8,612 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 11,65 kg

Jungtinis standartinis nuokrypis

s_p² = (10·10² + 9·8,5²)/19 = 86,86

s_p = 9,32

Paklaidos riba

E = 2,861·9,32·√(1/11 + 1/10) = 11,65

Atsakymas

E = 11,65 kg

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: p = 0,0455

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Testo statistika

SE = σ/√n = 40/√100 = 4

z = (88 − 80)/4 = 2

Uodegos plotas

Φ(2) = 0,9772

1 − Φ(2) = 0,0228

p reikšmė

p = 2·0,0228 = 0,0455

Atsakymas

p = 0,0455

p ≤ 0,05, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 139

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Išreikškite n

n = (1,96·15/2,5)² = 138,3

Apvalinkite aukštyn

n = 139

Atsakymas

n = 139

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9472

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 323/6 = 53,83

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 65,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 258,8

Determinacijos koeficientas

r² = 65,5²/(17,5·258,8) = 0,9472

Atsakymas

r² = 0,9472

Apie 94,72% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 4,294

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 101/5 = 20,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17

Regresijos tiesė

b = −17/10 = −1,7

a = 20,2 − (−1,7)·3 = 25,3

ŷ = 25,3 − 1,7·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (18 − 25,3)/(−1,7) = 4,294

Atsakymas

x = 4,294

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1