Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
2Uždaviniai
1.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 32, 39, 44, 15, 59, 11.
n = 6
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 15. Raskite rezultato 82 z įvertį z.
μ = 100σ = 15x = 82
z =
3.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,05, 0,3, 0,25, 0,35
Var(X) =
4.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €2. Laimite €10 su tikimybe 0,2 ir €20 su tikimybe 0,01; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €2€10: p = 0,2€20: p = 0,01
E(G) = €
5.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,8764. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,8764
z =
6.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 97,5 % reikšmių (97,5-asis procentilis).
μ = 250σ = 5P = 97,5%
x = g
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
13 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 4,7, o standartinis nuokrypis 4,5. Raskite vidutinio skirtumo 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
n = 13d̄ = 4,7sd = 4,590%t(12) = 1,782
apatinis rėžis = mmHg
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 18. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 4?
σ = 18E = 499%
n =
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 80 detalių imties vidutinis ilgis 118 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 9 mm. 2 linija: 30 detalių imties vidurkis 120,7 mm, žinomas standartinis nuokrypis 18 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).
n₁ = 80x̄₁ = 118 mmσ₁ = 9 mmn₂ = 30x̄₂ = 120,7 mmσ₂ = 18 mm
z =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 4 vienetų vidurkio poslinkį su 95 % galia. Standartinis nuokrypis 15. Raskite mažiausią imties dydį n.
α = 0,01galia = 95%δ = 4σ = 15zα = 2,326zβ = 1,645
n =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (24, 78). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 6(24, 78)
e =
3Tirpalai
1.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 18,12
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 200/6 = 33,33
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = (−1,333)² + 5,667² + 10,67² + (−18,33)² + 25,67² + (−22,33)² = 1641
Standartinis nuokrypis
s = √(1641/5) = 18,12
Atsakymas
s = 18,12
2.Aprašomoji statistika
Atsakymas: z = −1,2
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (82 − 100)/15 = −1,2
Atsakymas
z = −1,2
3.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 1,26
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 1·0,05 + 2·0,05 + 3·0,3 + 4·0,25 + 5·0,35 = 3,8
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 1·0,05 + 4·0,05 + 9·0,3 + 16·0,25 + 25·0,35 = 15,7
Dispersija
Var(X) = 15,7 − 3,8² = 1,26
Atsakymas
Var(X) = 1,26
4.Tikimybė
Atsakymas: E(G) = 0,2 €
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 8 (p = 0,2), 18 (p = 0,01), −2 (p = 0,79)
Laukiamoji vertė
E(G) = 8·0,2 + 18·0,01 − 2·0,79 = 0,2 €
Atsakymas
E(G) = 0,2 €
Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.
5.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 1,54
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = (1 + 0,8764)/2 = 0,9382
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,9382 ir nuskaitykite z.
z = 1,54
Atsakymas
z = 1,54
6.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 259,8 g
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Atgal į x
x = 250 + 1,96·5 = 259,8 g
Atsakymas
x = 259,8 g
7.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 2,476 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 12, t = 1,782
Paklaidos riba
E = 1,782·4,5/√13 = 2,224
Intervalas
4,7 ± 2,224 → [2,476, 6,924]
Atsakymas
apatinis rėžis = 2,476 mmHg
8.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 135
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (2,576·18/4)² = 134,4
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 135
Atsakymas
n = 135
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = −0,7856
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Skirtumo standartinė paklaida
SE = √(9²/80 + 18²/30) = √11,81 = 3,437
Testo statistika
z = (118 − 120,7)/3,437 = −0,7856
Atsakymas
z = −0,7856
|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 222
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.
Išreikškite n
n = ((2,326 + 1,645)·15/4)² = 221,7
Apvalinkite aukštyn
n = 222
Atsakymas
n = 222
11.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9966
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 265/5 = 53
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 34
Syy = Σ(y − ȳ)² = 116
Determinacijos koeficientas
r² = 34²/(10·116) = 0,9966
Atsakymas
r² = 0,9966
Apie 99,66% y kitimo paaiškinama tiese.
12.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = −3,152
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 430/6 = 71,67
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 332
Regresijos tiesė
b = 332/70 = 4,743
a = 71,67 − 4,743·22 = −32,68
ŷ = −32,68 + 4,743·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = −32,68 + 4,743·24 = 81,15
Liekana
e = 78 − 81,15 = −3,152
Atsakymas
e = −3,152
Taškas yra po tiese.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1