Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis
15202530354045505560

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 12, 18, 60, 47, 37.

n = 5
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 8. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 54?

μ = 70σ = 8x = 54
P =
3.TikimybėVidutinis
n = 7k = 2N = ?

Keliais būdais N iš 7 žmonių grupės galima išrinkti 2 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.

n = 7k = 2
N =
4.TikimybėSunkus
n = 5, p = 0,7: P(X ≤ 1) = ?k012345

Tikrinami 5 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,7. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 5p = 0,7
P =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
−3−2−10123znuspalvintas plotas dešinėje nuo z = 0,2061

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,2061. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,2061
z =
6.Normalusis skirstinysSunkus
157164171178185192199cmapačia 95%

suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 95 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 178 cmσ = 7 cm95%
x = cm
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 9, s = 14LUx̄ = 21E = ?95%

9 elementų imties vidurkis – 21, standartinis nuokrypis s = 14. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 9x̄ = 21s = 1495%t(8) = 2,306
E =
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
μ₁ − μ₂, t(29) = 2,0450LU = ?x̄₁ − x̄₂E95%

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 12 sklypų, vidutinis derlius 20,5 kg, standartinis nuokrypis 4 kg. 2 sklypų grupė: 19 sklypų, vidurkis 26,5 kg, standartinis nuokrypis 3,5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n₁ = 12x̄₁ = 20,5s₁ = 4n₂ = 19x̄₂ = 26,5s₂ = 3,595%t(29) = 2,045
viršutinis rėžis = kg
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
t −1,9901,99

81 studentų imties vidutinis rezultatas – 49,02, imties standartinis nuokrypis – 4. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 49,02s = 4n = 81
t =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 5α = 0,05βσ = 22, galia 90%, n = ?

Vienpusis z testas, kai α = 0,05, turi aptikti 5 vienetų vidurkio poslinkį su 90 % galia. Standartinis nuokrypis 22. Raskite mažiausią imties dydį n.

α = 0,05galia = 90%δ = 5σ = 22zα = 1,645zβ = 1,282
n =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy144245350456560665xy2465060

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 6
r² =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy274961681910281229xy510102030ŷ = 23

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 23?

n = 6ŷ = 23
x =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 19,94

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 174/5 = 34,8

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−22,8)² + (−16,8)² + 25,2² + 12,2² + 2,2² = 1591

Standartinis nuokrypis

s = √(1591/4) = 19,94

Atsakymas

s = 19,94
2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,9772

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = −2

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Atsakymas

P = 0,9772
3.Tikimybė

Atsakymas: N = 21

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Deriniai

C(7, 2) = (7·6)/(2·1) = 21

Atsakymas

N = 21
4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,03078

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,35 = 0,00243
P(X = 1) = 5·0,7·0,34 = 0,02835

Sudėkite

P = 0,00243 + 0,02835 = 0,03078

Atsakymas

P = 0,03078
5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 0,82

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,2061 = 0,7939

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,7939 ir nuskaitykite z.

z = 0,82

Atsakymas

z = 0,82
6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 189,5 cm

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,95

z iš lentelės

z ≈ 1,64

Atgal į pradinius vienetus

x = 178 + 1,64·7 = 189,5 cm

Atsakymas

x = 189,5 cm
7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 10,76

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 8, t = 2,306

Paklaidos riba

E = 2,306·14/√9 = 10,76

Atsakymas

E = 10,76
8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = −3,212 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Jungtinis standartinis nuokrypis

sp² = (11·4² + 18·3,5²)/29 = 13,67
sp = 3,698

Paklaidos riba

E = 2,045·3,698·√(1/12 + 1/19) = 2,788

Intervalas

−6 ± 2,788 → [−8,788, −3,212]

Atsakymas

viršutinis rėžis = −3,212 kg
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,205

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

Testo statistika

t = (49,02 − 50)/0,4444 = −2,205

Atsakymas

t = −2,205
t0,025; df = 80 = 1,99

|t| > 1,99, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 166

Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.

Išreikškite n

n = ((1,645 + 1,282)·22/5)² = 165,9

Apvalinkite aukštyn

n = 166

Atsakymas

n = 166
11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9784

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 320/6 = 53,33

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 78
Syy = Σ(y − ȳ)² = 355,3

Determinacijos koeficientas

r² = 78²/(17,5·355,3) = 0,9784

Atsakymas

r² = 0,9784

Apie 97,84% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 9,059

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 108/6 = 18

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 170

Regresijos tiesė

b = 170/70 = 2,429
a = 18 − 2,429·7 = 1
ŷ = 1 + 2,429·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (23 − 1)/2,429 = 9,059

Atsakymas

x = 9,059

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1