Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 14, 33, 16, 57, 52, 17, 58.

n = 7

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 12. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 82?

μ = 100σ = 12x = 82

P =

3.TikimybėVidutinis

Maišelyje yra 5 raudoni ir 6 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?

5 / 6

P =

4.TikimybėSunkus

Teste yra 7 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,4, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 2?

n = 7p = 0,4k = 2

P =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

varžtai masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 40 g, standartinis nuokrypis 1,2 g. Raskite tikimybę P, kad 16 iš jų bendra masė viršija 637,6 g. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 16> 637,6 g

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 10 % reikšmių (10-asis procentilis).

μ = 178σ = 7P = 10%

x = cm

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 50 telefonų, vidurkis 68 h, žinomas standartinis nuokrypis 5 h. 2 modelis: 30 telefonų, vidurkis 54 h, žinomas standartinis nuokrypis 16 h. Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n₁ = 50x̄₁ = 68 hσ₁ = 5 hn₂ = 30x̄₂ = 54 hσ₂ = 16 h99%

viršutinis rėžis = h

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,1. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,02?

p ≈ 0,1E = 0,0299%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

36 studentų imties vidutinis rezultatas – 104,8, imties standartinis nuokrypis – 12. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 104,8s = 12n = 36

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 5 vienetų vidurkio poslinkį su 95 % galia. Standartinis nuokrypis 23. Raskite mažiausią imties dydį n.

α = 0,01galia = 95%δ = 5σ = 23z_α = 2,326z_β = 1,645

n =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 6

r² =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 7.

n = 5x = 7

ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 20,13

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 247/7 = 35,29

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−21,29)² + (−2,286)² + (−19,29)² + 21,71² + 16,71² + (−18,29)² + 22,71² = 2431

Standartinis nuokrypis

s = √(2431/6) = 20,13

Atsakymas

s = 20,13

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,9332

Standartizuokite

z = −1,5

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Atsakymas

P = 0,9332

3.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,1818

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pirmas ir antras traukimas

P = 5/11 · 4/10 = 20/110 = 0,1818

Atsakymas

P = 0,1818

4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,2613

Binominė formulė

P(X = 2) = 21·0,4²·0,6⁵ = 21·0,16·0,07776 = 0,2613

Atsakymas

P = 0,2613

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,6915

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ_T = 640 g, σ_T = 1,2·√16 = 4,8 g

Standartizuokite

z = (637,6 − 640)/4,8 = −0,5

Tikimybė

P = 1 − Φ(−0,5) = 0,6915

Atsakymas

P = 0,6915

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 169 cm

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Atgal į x

x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm

Atsakymas

x = 169,03 cm

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 21,74 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 68 − 54 = 14

Standartinė paklaida

SE = √(5²/50 + 16²/30) = 3,006

Paklaidos riba

E = 2,576·3,006 = 7,742

Intervalas

14 ± 7,742 → [6,258, 21,74]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 21,74 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 1494

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 2,576²·0,1·0,9/0,02² = 1493

Apvalinkite aukštyn

n = 1494

Atsakymas

n = 1494

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,4

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

Testo statistika

t = (104,8 − 100)/2 = 2,4

Atsakymas

t = 2,4

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 334

Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.

Išreikškite n

n = ((2,326 + 1,645)·23/5)² = 333,7

Apvalinkite aukštyn

n = 334

Atsakymas

n = 334

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9941

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 488/6 = 81,33

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 400

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2299

Determinacijos koeficientas

r² = 400²/(70·2299) = 0,9941

Atsakymas

r² = 0,9941

Apie 99,41% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 20,75

Vidurkiai

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 93/5 = 18,6

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 86

Regresijos tiesė

b = 86/40 = 2,15

a = 18,6 − 2,15·6 = 5,7

ŷ = 5,7 + 2,15·x

Prognozė

ŷ = 5,7 + 2,15·7 = 20,75

Atsakymas

ŷ = 20,75

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1