Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 35, 51, 23, 16, 42, 29.

n = 6

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 20. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 150?

μ = 170σ = 20x = 150

P =

3.TikimybėVidutinis

Simetriškas kauliukas metamas 4 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?

n = 4

P =

4.TikimybėSunkus

Teste yra 12 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,1, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 5?

n = 12p = 0,1k = 5

P =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9090. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,9090

z =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Bėgiko A rato laikas X ir bėgiko B rato laikas Y yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 52 s ir standartinis nuokrypis 4 s, Y vidurkis 48 s ir standartinis nuokrypis 3 s. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 60 telefonų, vidurkis 89 h, žinomas standartinis nuokrypis 10 h. 2 modelis: 40 telefonų, vidurkis 97 h, žinomas standartinis nuokrypis 3 h. Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n₁ = 60x̄₁ = 89 hσ₁ = 10 hn₂ = 40x̄₂ = 97 hσ₂ = 3 h99%

viršutinis rėžis = h

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 25. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 4?

σ = 25E = 495%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

81 studentų imties vidutinis rezultatas – 72,67, imties standartinis nuokrypis – 15. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 72,67s = 15n = 81

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas H₀: μ = 80 prieš H₁: μ > 80 atliekamas, kai α = 0,05, su 36 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 3. Iš tikrųjų vidurkis lygus 80,65. Raskite testo galią 1 − β procentais.

μ₀ = 80μ = 80,65σ = 3n = 36α = 0,05

1 − β = %

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6Σx = 21Σy = 293Σx² = 91Σy² = 14779Σxy = 1115

r =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 5,5.

n = 5x = 5,5

ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 12,75

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 196/6 = 32,67

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 2,333² + 18,33² + (−9,667)² + (−16,67)² + 9,333² + (−3,667)² = 813,3

Standartinis nuokrypis

s = √(813,3/5) = 12,75

Atsakymas

s = 12,75

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,8413

Standartizuokite

z = −1

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Atsakymas

P = 0,8413

3.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,5177

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Priešingas įvykis

P(nėra šešeto) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Atsakymas

P = 0,5177

4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,003788

Binominė formulė

P(X = 5) = 792·0,1⁵·0,9⁷ = 792·1 × 10⁻⁵·0,4783 = 0,003788

Atsakymas

P = 0,003788

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 1,69

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,9090)/2 = 0,9545

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,9545 ir nuskaitykite z.

z = 1,69

Atsakymas

z = 1,69

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,7881

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standartizuokite

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Tikimybė

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Atsakymas

P = 0,7881

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = −4,457 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 89 − 97 = −8

Standartinė paklaida

SE = √(10²/60 + 3²/40) = 1,375

Paklaidos riba

E = 2,576·1,375 = 3,543

Intervalas

−8 ± 3,543 → [−11,54, −4,457]

Atsakymas

viršutinis rėžis = −4,457 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 151

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (1,96·25/4)² = 150,1

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 151

Atsakymas

n = 151

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −1,398

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 15/√81 = 15/9 = 1,667

Testo statistika

t = (72,67 − 75)/1,667 = −1,398

Atsakymas

t = −1,398

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: 1 − β = 36,5 %

Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritinis imties vidurkis

SE = 3/√36 = 0,5

x̄_c = 80 + 1,645·0,5 = 80,82

z esant tikrajam vidurkiui

z = (80,82 − 80,65)/0,5 = 0,345

Galia

galia = P(Z > 0,345) = 36,5%

1 − β = 36,5%

Atsakymas

1 − β = 36,5%

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,986

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 1115 − 21·293/6 = 89,5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 14779 − 293²/6 = 470,8

Koreliacijos koeficientas

r = 89,5/√(17,5·470,8) = 0,986

Atsakymas

r = 0,986

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 38,75

Vidurkiai

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 172/5 = 34,4

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 29

Regresijos tiesė

b = 29/10 = 2,9

a = 34,4 − 2,9·4 = 22,8

ŷ = 22,8 + 2,9·x

Prognozė

ŷ = 22,8 + 2,9·5,5 = 38,75

Atsakymas

ŷ = 38,75

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1