Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 26, 28, 60, 10, 34, 52, 49.

n = 7

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 8. Raskite rezultato 76 z įvertį z.

μ = 60σ = 8x = 76

z =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,35, 0,3, 0,1, 0,1

σ =

4.TikimybėSunkus

Tikrinami 6 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,6. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 6p = 0,6

P =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,6424. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,6424

z =

6.Normalusis skirstinysSunkus

IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 40 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 100 tšk.σ = 15 tšk.40%

x = tšk.

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

9 elementų imties vidurkis – 11,5, standartinis nuokrypis s = 1,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 9x̄ = 11,5s = 1,595%t(8) = 2,306

apatinis rėžis =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Apie brokuotų gaminių dalį iš anksto nieko nežinoma. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,05?

p = 0,5E = 0,0590%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

64 studentų imties vidutinis rezultatas – 93,5, imties standartinis nuokrypis – 20. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 93,5s = 20n = 64

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 4 vienetų vidurkio poslinkį su 80 % galia. Standartinis nuokrypis 30. Raskite mažiausią imties dydį n.

α = 0,01galia = 80%δ = 4σ = 30z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 6

r² =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (7, 61). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 5(7, 61)

e =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 17,5

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 259/7 = 37

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−11)² + (−9)² + 23² + (−27)² + (−3)² + 15² + 12² = 1838

Standartinis nuokrypis

s = √(1838/6) = 17,5

Atsakymas

s = 17,5

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = 2

Standartizuokite

z = (76 − 60)/8 = 2

Atsakymas

z = 2

3.Tikimybė

Atsakymas: σ = 1,152

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,15 + 1·0,35 + 2·0,3 + 3·0,1 + 4·0,1 = 1,65

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,15 + 1·0,35 + 4·0,3 + 9·0,1 + 16·0,1 = 4,05

Dispersija

Var(X) = 4,05 − 1,65² = 1,328

σ = √1,328 = 1,152

Atsakymas

σ = 1,152

4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,04096

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,4⁶ = 0,004096

P(X = 1) = 6·0,6·0,4⁵ = 0,03686

Sudėkite

P = 0,004096 + 0,03686 = 0,04096

Atsakymas

P = 0,04096

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 0,92

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,6424)/2 = 0,8212

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,8212 ir nuskaitykite z.

z = 0,92

Atsakymas

z = 0,92

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 103,8 tšk.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,6

z iš lentelės

z ≈ 0,25

Atgal į pradinius vienetus

x = 100 + 0,25·15 = 103,8 tšk.

Atsakymas

x = 103,8 tšk.

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 10,35

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 8, t = 2,306

Paklaidos riba

E = 2,306·1,5/√9 = 1,153

Intervalas

11,5 ± 1,153 → [10,35, 12,65]

Atsakymas

apatinis rėžis = 10,35

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 271

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,05² = 270,6

Apvalinkite aukštyn

n = 271

Atsakymas

n = 271

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,6

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 20/√64 = 20/8 = 2,5

Testo statistika

t = (93,5 − 100)/2,5 = −2,6

Atsakymas

t = −2,6

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 565

Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.

Išreikškite n

n = ((2,326 + 0,842)·30/4)² = 564,5

Apvalinkite aukštyn

n = 565

Atsakymas

n = 565

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9927

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 187/6 = 31,17

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 285

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1169

Determinacijos koeficientas

r² = 285²/(70·1169) = 0,9927

Atsakymas

r² = 0,9927

Apie 99,27% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = 4,6

Vidurkiai

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 263/5 = 52,6

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

Regresijos tiesė

b = 152/40 = 3,8

a = 52,6 − 3,8·6 = 29,8

ŷ = 29,8 + 3,8·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 29,8 + 3,8·7 = 56,4

Liekana

e = 61 − 56,4 = 4,6

Atsakymas

e = 4,6

Taškas yra virš tiesės.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1