Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 42, 16, 54, 33, 50, 44, 23.

n = 7

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 15. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 155?

μ = 170σ = 15x = 155

P =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,35, 0,15, 0,1, 0,35

σ =

4.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = −2X − 3. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,1, 0,25, 0,3Y = −2X − 3

σ_Y =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Kokia dalis reikšmių yra tarp 30,2 ir 38 min? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 32σ = 6x₁ = 30,2x₂ = 38

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 10 % reikšmių (10-asis procentilis).

μ = 500σ = 40P = 10%

x = h

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 40 telefonų, vidurkis 103,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 3 h. 2 modelis: 60 telefonų, vidurkis 113 h, žinomas standartinis nuokrypis 18 h. Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n₁ = 40x̄₁ = 103,5 hσ₁ = 3 hn₂ = 60x̄₂ = 113 hσ₂ = 18 h90%

viršutinis rėžis = h

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

25 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 1,3 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 24, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 12,401, o 2,5 % – aukščiau 39,364.

n = 25s = 1,3 µmχ² = 12,401, 39,364

σ = µm

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 17 studentų, vidutinis rezultatas 37,5, standartinis nuokrypis 3,5. 2 grupė: 9 studentų, vidutinis rezultatas 33,8, standartinis nuokrypis 11. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).

n₁ = 17x̄₁ = 37,5s₁ = 3,5n₂ = 9x̄₂ = 33,8s₂ = 11

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 1,5 vienetų vidurkio poslinkį su 90 % galia. Standartinis nuokrypis 10. Raskite mažiausią imties dydį n.

α = 0,01galia = 90%δ = 1,5σ = 10z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6

r =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 36?

n = 5ŷ = 36

x =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 14,05

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 262/7 = 37,43

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 4,571² + (−21,43)² + 16,57² + (−4,429)² + 12,57² + 6,571² + (−14,43)² = 1184

Standartinis nuokrypis

s = √(1184/6) = 14,05

Atsakymas

s = 14,05

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,1587

Standartizuokite

z = −1

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Atsakymas

P = 0,1587

3.Tikimybė

Atsakymas: σ = 1,388

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 1·0,05 + 2·0,35 + 3·0,15 + 4·0,1 + 5·0,35 = 3,35

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 1·0,05 + 4·0,35 + 9·0,15 + 16·0,1 + 25·0,35 = 13,15

Dispersija

Var(X) = 13,15 − 3,35² = 1,928

σ = √1,928 = 1,388

Atsakymas

σ = 1,388

4.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 24,9

X sklaida

μ = 25, Var(X) = 155, σ_X = 12,45

Tiesinis pokytis

σ_Y = |−2|·12,45 = 24,9

Atsakymas

σ_Y = 24,9

Vidurkis pasislenka: E(Y) = −2·25 − 3 = −53.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,4593

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (30,2 − 32)/6 = −0,3

z₂ = (38 − 32)/6 = 1

Plotas tarp

P = Φ(1) − Φ(−0,3) = 0,8413 − 0,3821 = 0,4593

Atsakymas

P = 0,4593

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 448,7 h

Procentilio z

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Atgal į x

x = 500 + −1,282·40 = 448,74 h

Atsakymas

x = 448,74 h

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = −5,599 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 103,5 − 113 = −9,5

Standartinė paklaida

SE = √(3²/40 + 18²/60) = 2,372

Paklaidos riba

E = 1,645·2,372 = 3,901

Intervalas

−9,5 ± 3,901 → [−13,4, −5,599]

Atsakymas

viršutinis rėžis = −5,599 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: σ = 1,809 µm

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 24·1,3² = 40,56

σ² rėžiai

40,56/39,364 = 1,03

40,56/12,401 = 3,271

σ rėžis

σ = √3,271 = 1,809 µm

Atsakymas

σ = 1,809 µm

σ 95 % intervalas: [1,015, 1,809] µm.

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 1,289

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Jungtinė dispersija

s_p² = (16·3,5² + 8·11²)/24 = 48,5

s_p = 6,964

Standartinė paklaida

SE = 6,964·√(1/17 + 1/9) = 2,871

Testo statistika

t = (37,5 − 33,8)/2,871 = 1,289

Atsakymas

t = 1,289

Kai df = 24, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,064; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 579

Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.

Išreikškite n

n = ((2,326 + 1,282)·10/1,5)² = 578,6

Apvalinkite aukštyn

n = 579

Atsakymas

n = 579

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = −0,9373

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 116/6 = 19,33

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −41

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 109,3

Koreliacijos koeficientas

r = −41/√(17,5·109,3) = −0,9373

Atsakymas

r = −0,9373

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 1,911

Vidurkiai

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 241/5 = 48,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 158

Regresijos tiesė

b = 158/40 = 3,95

a = 48,2 − 3,95·5 = 28,45

ŷ = 28,45 + 3,95·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (36 − 28,45)/3,95 = 1,911

Atsakymas

x = 1,911

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1