Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis
2025303540

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 44, 28, 41, 18, 44, 17, 16.

n = 7
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 25. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 470?

μ = 500σ = 25x = 470
P =
3.TikimybėVidutinis
xp(x)00,3510,220,130,35μ = 1,45

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,2, 0,1, 0,35
σ =
4.TikimybėSunkus
n = 7, p = 0,2: P(X ≤ 1) = ?k01234567

Tikrinami 7 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,2. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 7p = 0,2
P =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
−3−2−10123znuspalvintas plotas dešinėje nuo z = 0,2236

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,2236. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,2236
z =
6.Normalusis skirstinysSunkus
235240245250255260265gviršus 15%

maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 15 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 250 gσ = 5 g15%
x = g
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
x̄E₁ = 3,699%, n = 64x̄E₂ = ?95%, n = 256

Vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 64 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 3,6. Kokia yra 95 % intervalo, pagrįsto 256 stebėjimais, paklaidos riba E₂?

99%n₁ = 64E₁ = 3,695%n₂ = 256
E₂ =
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 34, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2,595%

Populiacijos standartinis nuokrypis – 34. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5?

σ = 34E = 2,595%
n =
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
t −2,13102,131

16 studentų imties vidutinis rezultatas – 507,3, imties standartinis nuokrypis – 10. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 507,3s = 10n = 16
t =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
−1,961,96z = ?

Klinikiniame tyrime pasveiksta 135 iš 300 pacientų, gydytų A būdu, ir 53 iš 150 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 135n₁ = 300x₂ = 53n₂ = 150
z =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy356464574673782xy46607080

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5
r =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy126223318419514xy24152025x = 3,5

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 3,5.

n = 5x = 3,5
ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 13,07

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 208/7 = 29,71

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 14,29² + (−1,714)² + 11,29² + (−11,71)² + 14,29² + (−12,71)² + (−13,71)² = 1025

Standartinis nuokrypis

s = √(1025/6) = 13,07

Atsakymas

s = 13,07
2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,8849

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = −1,2

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Atsakymas

P = 0,8849
3.Tikimybė

Atsakymas: σ = 1,284

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,35 + 1·0,2 + 2·0,1 + 3·0,35 = 1,45

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,2 + 4·0,1 + 9·0,35 = 3,75

Dispersija

Var(X) = 3,75 − 1,45² = 1,648
σ = √1,648 = 1,284

Atsakymas

σ = 1,284
4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,5767

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,87 = 0,2097
P(X = 1) = 7·0,2·0,86 = 0,367

Sudėkite

P = 0,2097 + 0,367 = 0,5767

Atsakymas

P = 0,5767
5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 0,76

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,2236 = 0,7764

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,7764 ir nuskaitykite z.

z = 0,76

Atsakymas

z = 0,76
6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 255,2 g

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,85

z iš lentelės

z ≈ 1,04

Atgal į pradinius vienetus

x = 250 + 1,04·5 = 255,2 g

Atsakymas

x = 255,2 g
7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E₂ = 1,37

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Paklaidos ribų santykis

E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(64/256) = 0,3804

Nauja paklaidos riba

E₂ = 3,6·0,3804 = 1,37

Atsakymas

E₂ = 1,37
8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 711

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (1,96·34/2,5)² = 710,5

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 711

Atsakymas

n = 711
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,92

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 10/√16 = 10/4 = 2,5

Testo statistika

t = (507,3 − 500)/2,5 = 2,92

Atsakymas

t = 2,92
t0,025; df = 15 = 2,131

|t| > 2,131, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = 1,96

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Imčių dalys

p̂₁ = 135/300 = 0,45
p̂₂ = 53/150 = 0,3533
p̂ = 188/450 = 0,4178

Standartinė paklaida pagal H₀

SE = √(0,4178·0,5822·(1/300 + 1/150)) = 0,04932

Testo statistika

z = (0,45 − 0,3533)/0,04932 = 1,96

Atsakymas

z = 1,96

|z| > 1,96, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9635

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 349/5 = 69,8

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 61
Syy = Σ(y − ȳ)² = 400,8

Koreliacijos koeficientas

r = 61/√(10·400,8) = 0,9635

Atsakymas

r = 0,9635
12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 18,6

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 100/5 = 20

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28

Regresijos tiesė

b = −28/10 = −2,8
a = 20 − (−2,8)·3 = 28,4
ŷ = 28,4 − 2,8·x

Prognozė

ŷ = 28,4 + (−2,8)·3,5 = 18,6

Atsakymas

ŷ = 18,6

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1