Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 36, 23, 14, 51, 11.

n = 5

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 50. Raskite rezultato 520 z įvertį z.

μ = 500σ = 50x = 520

z =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,1, 0,3, 0,1, 0,3

Var(X) =

4.TikimybėSunkus

Teste yra 6 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,5, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 2?

n = 6p = 0,5k = 2

P =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Kokia dalis reikšmių yra tarp 175,9 ir 185 cm? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 178σ = 7x₁ = 175,9x₂ = 185

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 90 % reikšmių (90-asis procentilis).

μ = 100σ = 15P = 90%

x = tšk.

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

15 elementų imties vidurkis – 59,5, standartinis nuokrypis s = 4. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 15x̄ = 59,5s = 499%t(14) = 2,977

E =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 32. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 3?

σ = 32E = 390%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 60 detalių imties vidutinis ilgis 141 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 16 mm. 2 linija: 50 detalių imties vidurkis 138,4 mm, žinomas standartinis nuokrypis 5 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).

n₁ = 60x̄₁ = 141 mmσ₁ = 16 mmn₂ = 50x̄₂ = 138,4 mmσ₂ = 5 mm

z =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2? Standartinis nuokrypis – 5. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 5E = 290%

n =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 5

r² =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 66?

n = 6ŷ = 66

x =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 16,57

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 135/5 = 27

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 9² + (−4)² + (−13)² + 24² + (−16)² = 1098

Standartinis nuokrypis

s = √(1098/4) = 16,57

Atsakymas

s = 16,57

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = 0,4

Standartizuokite

z = (520 − 500)/50 = 0,4

Atsakymas

z = 0,4

3.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 2,16

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 1·0,2 + 2·0,1 + 3·0,3 + 4·0,1 + 5·0,3 = 3,2

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,1 + 9·0,3 + 16·0,1 + 25·0,3 = 12,4

Dispersija

Var(X) = 12,4 − 3,2² = 2,16

Atsakymas

Var(X) = 2,16

4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,2344

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binominė formulė

P(X = 2) = 15·0,5²·0,5⁴ = 15·0,25·0,0625 = 0,2344

Atsakymas

P = 0,2344

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,4593

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (175,9 − 178)/7 = −0,3

z₂ = (185 − 178)/7 = 1

Plotas tarp

P = Φ(1) − Φ(−0,3) = 0,8413 − 0,3821 = 0,4593

Atsakymas

P = 0,4593

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 119,2 tšk.

Procentilio z

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Atgal į x

x = 100 + 1,282·15 = 119,22 tšk.

Atsakymas

x = 119,22 tšk.

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 3,075

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 14, t = 2,977

Paklaidos riba

E = 2,977·4/√15 = 3,075

Atsakymas

E = 3,075

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 308

Išreikškite n

n = (1,645·32/3)² = 307,9

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 308

Atsakymas

n = 308

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = 1,191

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Skirtumo standartinė paklaida

SE = √(16²/60 + 5²/50) = √4,767 = 2,183

Testo statistika

z = (141 − 138,4)/2,183 = 1,191

Atsakymas

z = 1,191

|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 17

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Išreikškite n

n = (1,645·5/2)² = 16,91

Apvalinkite aukštyn

n = 17

Atsakymas

n = 17

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9771

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 97/5 = 19,4

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 419,2

Determinacijos koeficientas

r² = 128²/(40·419,2) = 0,9771

Atsakymas

r² = 0,9771

Apie 97,71% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 16,9

Vidurkiai

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 501/6 = 83,5

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 299

Regresijos tiesė

b = 299/70 = 4,271

a = 83,5 − 4,271·21 = −6,2

ŷ = −6,2 + 4,271·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (66 − (−6,2))/4,271 = 16,9

Atsakymas

x = 16,9

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1