Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 10, 48, 18, 13, 31, 52, 58.

n = 7

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 8. Raskite rezultato 56 z įvertį z.

μ = 60σ = 8x = 56

z =

3.TikimybėVidutinis

Maišelyje yra 5 raudoni ir 8 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?

5 / 8

P =

4.TikimybėSunkus

Tikrinami 10 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,1. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 10p = 0,1

P =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Kokia dalis reikšmių yra tarp 242,75 ir 260 g? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 250σ = 5x₁ = 242,75x₂ = 260

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 10 % reikšmių (10-asis procentilis).

μ = 32σ = 6P = 10%

x = min

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

7 elementų imties vidurkis – 78, standartinis nuokrypis s = 1,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 7x̄ = 78s = 1,590%t(6) = 1,943

viršutinis rėžis =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 12. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,5?

σ = 12E = 0,599%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 22 studentų, vidutinis rezultatas 29,5, standartinis nuokrypis 6,5. 2 grupė: 9 studentų, vidutinis rezultatas 35,5, standartinis nuokrypis 7. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).

n₁ = 22x̄₁ = 29,5s₁ = 6,5n₂ = 9x̄₂ = 35,5s₂ = 7

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2? Standartinis nuokrypis – 20. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 20E = 295%

n =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 5

r² =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 18,5.

n = 5x = 18,5

ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 19,87

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 230/7 = 32,86

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−22,86)² + 15,14² + (−14,86)² + (−19,86)² + (−1,857)² + 19,14² + 25,14² = 2369

Standartinis nuokrypis

s = √(2369/6) = 19,87

Atsakymas

s = 19,87

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −0,5

Standartizuokite

z = (56 − 60)/8 = −0,5

Atsakymas

z = −0,5

3.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,1282

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pirmas ir antras traukimas

P = 5/13 · 4/12 = 20/156 = 0,1282

Atsakymas

P = 0,1282

4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,7361

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,9¹⁰ = 0,3487

P(X = 1) = 10·0,1·0,9⁹ = 0,3874

Sudėkite

P = 0,3487 + 0,3874 = 0,7361

Atsakymas

P = 0,7361

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,9037

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (242,75 − 250)/5 = −1,45

z₂ = (260 − 250)/5 = 2

Plotas tarp

P = Φ(2) − Φ(−1,45) = 0,9772 − 0,07353 = 0,9037

Atsakymas

P = 0,9037

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 24,31 min

Procentilio z

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Atgal į x

x = 32 + −1,282·6 = 24,31 min

Atsakymas

x = 24,31 min

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 79,1

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 6, t = 1,943

Paklaidos riba

E = 1,943·1,5/√7 = 1,102

Intervalas

78 ± 1,102 → [76,9, 79,1]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 79,1

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 3823

Išreikškite n

n = (2,576·12/0,5)² = 3822

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 3823

Atsakymas

n = 3823

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,283

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Jungtinė dispersija

s_p² = (21·6,5² + 8·7²)/29 = 44,11

s_p = 6,642

Standartinė paklaida

SE = 6,642·√(1/22 + 1/9) = 2,628

Testo statistika

t = (29,5 − 35,5)/2,628 = −2,283

Atsakymas

t = −2,283

Kai df = 29, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,045; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 385

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Išreikškite n

n = (1,96·20/2)² = 384,2

Apvalinkite aukštyn

n = 385

Atsakymas

n = 385

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9143

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 260/5 = 52

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 297

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1072

Determinacijos koeficientas

r² = 297²/(90·1072) = 0,9143

Atsakymas

r² = 0,9143

Apie 91,43% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 102,9

Vidurkiai

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 566/5 = 113,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 621

Regresijos tiesė

b = 621/90 = 6,9

a = 113,2 − 6,9·20 = −24,8

ŷ = −24,8 + 6,9·x

Prognozė

ŷ = −24,8 + 6,9·18,5 = 102,9

Atsakymas

ŷ = 102,9

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1