Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 34, 12, 17, 54, 56, 47.

n = 6

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 10. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 74?

μ = 70σ = 10x = 74

P =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,3, 0,3, 0,15

Var(X) =

4.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = 0,5X + 20. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,1, 0,3, 0,15, 0,15Y = 0,5X + 20

σ_Y =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,7373. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,7373

z =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 97,5 % reikšmių (97,5-asis procentilis).

μ = 500σ = 40P = 97,5%

x = h

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

8 elementų imties vidurkis – 94, standartinis nuokrypis s = 2. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 8x̄ = 94s = 295%t(7) = 2,365

viršutinis rėžis =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 40. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,5?

σ = 40E = 0,595%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

25 studentų imties vidutinis rezultatas – 73,88, imties standartinis nuokrypis – 4. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 73,88s = 4n = 25

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1? Standartinis nuokrypis – 4. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 4E = 190%

n =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6

r =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 20.

n = 5x = 20

ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 18,89

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 220/6 = 36,67

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−2,667)² + (−24,67)² + (−19,67)² + 17,33² + 19,33² + 10,33² = 1783

Standartinis nuokrypis

s = √(1783/5) = 18,89

Atsakymas

s = 18,89

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,6554

Standartizuokite

z = 0,4

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Atsakymas

P = 0,6554

3.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 1,027

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 1·0,25 + 2·0,3 + 3·0,3 + 4·0,15 = 2,35

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,3 + 9·0,3 + 16·0,15 = 6,55

Dispersija

Var(X) = 6,55 − 2,35² = 1,027

Atsakymas

Var(X) = 1,027

4.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 0,7049

X sklaida

μ = 1,75, Var(X) = 1,987, σ_X = 1,41

Tiesinis pokytis

σ_Y = |0,5|·1,41 = 0,7049

Atsakymas

σ_Y = 0,7049

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 0,5·1,75 + 20 = 20,88.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 1,12

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,7373)/2 = 0,8686

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,8686 ir nuskaitykite z.

z = 1,12

Atsakymas

z = 1,12

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 578,4 h

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Atgal į x

x = 500 + 1,96·40 = 578,4 h

Atsakymas

x = 578,4 h

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 95,67

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 7, t = 2,365

Paklaidos riba

E = 2,365·2/√8 = 1,672

Intervalas

94 ± 1,672 → [92,33, 95,67]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 95,67

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 24587

Išreikškite n

n = (1,96·40/0,5)² = 24586

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 24587

Atsakymas

n = 24587

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −1,4

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8

Testo statistika

t = (73,88 − 75)/0,8 = −1,4

Atsakymas

t = −1,4

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 44

Išreikškite n

n = (1,645·4/1)² = 43,3

Apvalinkite aukštyn

n = 44

Atsakymas

n = 44

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = −0,9846

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 98/6 = 16,33

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −61

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 219,3

Koreliacijos koeficientas

r = −61/√(17,5·219,3) = −0,9846

Atsakymas

r = −0,9846

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 53,45

Vidurkiai

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 245/5 = 49

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 178

Regresijos tiesė

b = 178/40 = 4,45

a = 49 − 4,45·19 = −35,55

ŷ = −35,55 + 4,45·x

Prognozė

ŷ = −35,55 + 4,45·20 = 53,45

Atsakymas

ŷ = 53,45

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1