Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 33, 35, 26, 13, 20, 47, 49.

n = 7

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 50. Raskite rezultato 400 z įvertį z.

μ = 500σ = 50x = 400

z =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,15, 0,3, 0,25

σ =

4.TikimybėSunkus

Žaidimo kaina yra €10. Laimite €20 su tikimybe 0,15 ir €200 su tikimybe 0,01; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €10€20: p = 0,15€200: p = 0,01

E(G) = €

5.Normalusis skirstinysVidutinis

keleiviai su bagažu masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 85 kg, standartinis nuokrypis 12 kg. Raskite tikimybę P, kad 12 iš jų bendra masė viršija 1103 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12> 1103 kg

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 80 % reikšmių (80-asis procentilis).

μ = 178σ = 7P = 80%

x = cm

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

30 elementų imties vidurkis – 99, standartinis nuokrypis s = 8. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 30x̄ = 99s = 890%t(29) = 1,699

apatinis rėžis =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 35. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,5?

σ = 35E = 0,599%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

100 studentų imties vidutinis rezultatas – 99,55, imties standartinis nuokrypis – 5. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 99,55s = 5n = 100

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Klinikiniame tyrime pasveiksta 63 iš 250 pacientų, gydytų A būdu, ir 64 iš 200 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 63n₁ = 250x₂ = 64n₂ = 200

z =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5

r =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 21.

n = 6x = 21

ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 13,32

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 223/7 = 31,86

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 1,143² + 3,143² + (−5,857)² + (−18,86)² + (−11,86)² + 15,14² + 17,14² = 1065

Standartinis nuokrypis

s = √(1065/6) = 13,32

Atsakymas

s = 13,32

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −2

Standartizuokite

z = (400 − 500)/50 = −2

Atsakymas

z = −2

3.Tikimybė

Atsakymas: σ = 1,162

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 1·0,3 + 2·0,15 + 3·0,3 + 4·0,25 = 2,5

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,15 + 9·0,3 + 16·0,25 = 7,6

Dispersija

Var(X) = 7,6 − 2,5² = 1,35

σ = √1,35 = 1,162

Atsakymas

σ = 1,162

4.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = −5 €

Grynosios baigtys

G: 10 (p = 0,15), 190 (p = 0,01), −10 (p = 0,84)

Laukiamoji vertė

E(G) = 10·0,15 + 190·0,01 − 10·0,84 = −5 €

Atsakymas

E(G) = −5 €

Neigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai prarandate pinigus.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,02275

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ_T = 1020 kg, σ_T = 12·√12 = 41,57 kg

Standartizuokite

z = (1103 − 1020)/41,57 = 2

Tikimybė

P = 1 − Φ(2) = 0,02275

Atsakymas

P = 0,02275

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 183,9 cm

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Atgal į x

x = 178 + 0,8416·7 = 183,89 cm

Atsakymas

x = 183,89 cm

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 96,52

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 29, t = 1,699

Paklaidos riba

E = 1,699·8/√30 = 2,482

Intervalas

99 ± 2,482 → [96,52, 101,5]

Atsakymas

apatinis rėžis = 96,52

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 32516

Išreikškite n

n = (2,576·35/0,5)² = 32515

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 32516

Atsakymas

n = 32516

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −0,9

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 5/√100 = 5/10 = 0,5

Testo statistika

t = (99,55 − 100)/0,5 = −0,9

Atsakymas

t = −0,9

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = −1,593

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Imčių dalys

p̂₁ = 63/250 = 0,252

p̂₂ = 64/200 = 0,32

p̂ = 127/450 = 0,2822

Standartinė paklaida pagal H₀

SE = √(0,2822·0,7178·(1/250 + 1/200)) = 0,0427

Testo statistika

z = (0,252 − 0,32)/0,0427 = −1,593

Atsakymas

z = −1,593

|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9375

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 48/5 = 9,6

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 89,2

Koreliacijos koeficientas

r = 56/√(40·89,2) = 0,9375

Atsakymas

r = 0,9375

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 107,8

Vidurkiai

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 705/6 = 117,5

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 341

Regresijos tiesė

b = 341/70 = 4,871

a = 117,5 − 4,871·23 = 5,457

ŷ = 5,457 + 4,871·x

Prognozė

ŷ = 5,457 + 4,871·21 = 107,8

Atsakymas

ŷ = 107,8

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1