Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
2Uždaviniai
1.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 45, 19, 21, 40, 55, 22.
n = 6
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 20. Raskite rezultato 85 z įvertį z.
μ = 60σ = 20x = 85
z =
3.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,35, 0,35, 0,15
Var(X) =
4.TikimybėSunkus
X turi parodytą skirstinį, o Y = 2X + 10. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,3, 0,35, 0,1Y = 2X + 10
σY =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,4313. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,4313
z =
6.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 25 % reikšmių (25-asis procentilis).
μ = 178σ = 7P = 25%
x = cm
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 80 telefonų, vidurkis 59 h, žinomas standartinis nuokrypis 10 h. 2 modelis: 60 telefonų, vidurkis 51,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 17 h. Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.
n₁ = 80x̄₁ = 59 hσ₁ = 10 hn₂ = 60x̄₂ = 51,5 hσ₂ = 17 h95%
viršutinis rėžis = h
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
10 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 6 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 9, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 2,7, o 2,5 % – aukščiau 19,023.
n = 10s = 6 µmχ² = 2,7, 19,023
σ = µm
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 80 detalių imties vidutinis ilgis 67 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 15 mm. 2 linija: 30 detalių imties vidurkis 60 mm, žinomas standartinis nuokrypis 9 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).
n₁ = 80x̄₁ = 67 mmσ₁ = 15 mmn₂ = 30x̄₂ = 60 mmσ₂ = 9 mm
z =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas H₀: μ = 80 prieš H₁: μ < 80 atliekamas, kai α = 0.10, su 25 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 2.5. Iš tikrųjų vidurkis lygus 79.2. Raskite testo galią 1 − β procentais.
μ₀ = 80μ = 79,2σ = 2,5n = 25α = 0,10
1 − β = %
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 44?
n = 5ŷ = 44
x =
3Tirpalai
1.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 15,07
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 202/6 = 33,67
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = 11,33² + (−14,67)² + (−12,67)² + 6,333² + 21,33² + (−11,67)² = 1135
Standartinis nuokrypis
s = √(1135/5) = 15,07
Atsakymas
s = 15,07
2.Aprašomoji statistika
Atsakymas: z = 1,25
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (85 − 60)/20 = 1,25
Atsakymas
z = 1,25
3.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 0,85
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 0·0,15 + 1·0,35 + 2·0,35 + 3·0,15 = 1,5
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 0·0,15 + 1·0,35 + 4·0,35 + 9·0,15 = 3,1
Dispersija
Var(X) = 3,1 − 1,5² = 0,85
Atsakymas
Var(X) = 0,85
4.Tikimybė
Atsakymas: σY = 1,908
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 1,3, Var(X) = 0,91, σX = 0,9539
Tiesinis pokytis
σY = |2|·0,9539 = 1,908
Atsakymas
σY = 1,908
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 2·1,3 + 10 = 12,6.
5.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 0,57
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = (1 + 0,4313)/2 = 0,7157
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,7157 ir nuskaitykite z.
z = 0,57
Atsakymas
z = 0,57
6.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 173,3 cm
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Atgal į x
x = 178 + −0,6745·7 = 173,28 cm
Atsakymas
x = 173,28 cm
7.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 12,33 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 59 − 51,5 = 7,5
Standartinė paklaida
SE = √(10²/80 + 17²/60) = 2,463
Paklaidos riba
E = 1,96·2,463 = 4,828
Intervalas
7,5 ± 4,828 → [2,672, 12,33]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 12,33 h
Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.
8.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 4,127 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 9·6² = 324
σ² rėžiai
324/19,023 = 17,03
324/2,7 = 120
σ rėžis
σ = √17,03 = 4,127 µm
Atsakymas
σ = 4,127 µm
σ 95 % intervalas: [4,127, 10,95] µm.
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = 2,981
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Skirtumo standartinė paklaida
SE = √(15²/80 + 9²/30) = √5,513 = 2,348
Testo statistika
z = (67 − 60)/2,348 = 2,981
Atsakymas
z = 2,981
|z| > 1,96, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: 1 − β = 62,48 %
Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritinis imties vidurkis
SE = 2,5/√25 = 0,5
x̄c = 80 − 1,282·0,5 = 79,36
z esant tikrajam vidurkiui
z = (79,36 − 79,2)/0,5 = 0,318
Galia
galia = P(Z < 0.318) = 62.48%
1 − β = 62,48%
Atsakymas
1 − β = 62,48%
11.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9587
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 90/5 = 18
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21
Syy = Σ(y − ȳ)² = 46
Determinacijos koeficientas
r² = −21²/(10·46) = 0,9587
Atsakymas
r² = 0,9587
Apie 95,87% y kitimo paaiškinama tiese.
12.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 3,533
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 204/5 = 40,8
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60
Regresijos tiesė
b = 60/10 = 6
a = 40,8 − 6·3 = 22,8
ŷ = 22,8 + 6·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (44 − 22,8)/6 = 3,533
Atsakymas
x = 3,533
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1