Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis
152025303540

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 34, 11, 32, 14, 14, 44.

n = 6
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 60. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 470?

μ = 500σ = 60x = 470
P =
3.TikimybėVidutinis
xp(x)00,310,3520,35μ = 1,05

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35
Var(X) =
4.TikimybėSunkus
n = 9, p = 0,3: P(X ≤ 1) = ?k0123456789

Tikrinami 9 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,3. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 9p = 0,3
P =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
−3−2−10123znuspalvintas plotas dešinėje nuo z = 0,2810

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,2810. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,2810
z =
6.Normalusis skirstinysSunkus
157164171178185192199cmapačia 85%

suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 85 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 178 cmσ = 7 cm85%
x = cm
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 12, s = 7,5LU = ?x̄ = 58E95%

12 elementų imties vidurkis – 58, standartinis nuokrypis s = 7,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 12x̄ = 58s = 7,595%t(11) = 2,201
viršutinis rėžis =
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
p ≈ 0,15, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,0299%

Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,15. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,02?

p ≈ 0,15E = 0,0299%
n =
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
t −2,13102,131

16 studentų imties vidutinis rezultatas – 492,2, imties standartinis nuokrypis – 12. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 492,2s = 12n = 16
t =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
z −1,64501,645

64 matavimų imties vidurkis – 122. Populiacijos standartinis nuokrypis – 10. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 122σ = 10n = 6490%
L =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy128226325421523619xy2462025

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6
r =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy168219110221242514728157xy2025100150ŷ = 96

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 96?

n = 5ŷ = 96
x =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 13,63

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 149/6 = 24,83

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 9,167² + (−13,83)² + 7,167² + (−10,83)² + (−10,83)² + 19,17² = 928,8

Standartinis nuokrypis

s = √(928,8/5) = 13,63

Atsakymas

s = 13,63
2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,3085

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = −0,5

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085

Atsakymas

P = 0,3085
3.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 0,6475

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

Dispersija

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

Atsakymas

Var(X) = 0,6475
4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,196

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,79 = 0,04035
P(X = 1) = 9·0,3·0,78 = 0,1556

Sudėkite

P = 0,04035 + 0,1556 = 0,196

Atsakymas

P = 0,196
5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 0,58

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,2810 = 0,7190

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,7190 ir nuskaitykite z.

z = 0,58

Atsakymas

z = 0,58
6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 185,3 cm

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,85

z iš lentelės

z ≈ 1,04

Atgal į pradinius vienetus

x = 178 + 1,04·7 = 185,3 cm

Atsakymas

x = 185,3 cm
7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 62,77

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 11, t = 2,201

Paklaidos riba

E = 2,201·7,5/√12 = 4,765

Intervalas

58 ± 4,765 → [53,23, 62,77]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 62,77
8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 2116

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 2,576²·0,15·0,85/0,02² = 2115

Apvalinkite aukštyn

n = 2116

Atsakymas

n = 2116
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,6

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 12/√16 = 12/4 = 3

Testo statistika

t = (492,2 − 500)/3 = −2,6

Atsakymas

t = −2,6
t0,025; df = 15 = 2,131

|t| > 2,131, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 119,9

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 1,645·10/√64 = 2,056

Intervalo rėžis

L = 122 − 2,056 = 119,9

Atsakymas

L = 119,9
11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = −0,9319

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 142/6 = 23,67

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29
Syy = Σ(y − ȳ)² = 55,33

Koreliacijos koeficientas

r = −29/√(17,5·55,33) = −0,9319

Atsakymas

r = −0,9319
12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 17,51

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 620/5 = 124

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 561

Regresijos tiesė

b = 561/90 = 6,233
a = 124 − 6,233·22 = −13,13
ŷ = −13,13 + 6,233·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (96 − (−13,13))/6,233 = 17,51

Atsakymas

x = 17,51

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1