Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis
202530354045505560

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 46, 60, 29, 29, 45, 18.

n = 6
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 60. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 524?

μ = 500σ = 60x = 524
P =
3.TikimybėVidutinis
n = 13k = 5N = ?

Keliais būdais N iš 13 žmonių grupės galima išrinkti 5 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.

n = 13k = 5
N =
4.TikimybėSunkus
xp(x)00,310,3520,35μ

X turi parodytą skirstinį, o Y = 5X + 20. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 5X + 20
σY =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
−3−2−10123znuspalvintas plotas dešinėje nuo z = 0,3632

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,3632. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,3632
z =
6.Normalusis skirstinysSunkus
μ = 178x = ?20%

Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 20 % reikšmių (20-asis procentilis).

μ = 178σ = 7P = 20%
x = cm
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 12, s = 8LUx̄ = 53,5E = ?95%

12 elementų imties vidurkis – 53,5, standartinis nuokrypis s = 8. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 12x̄ = 53,5s = 895%t(11) = 2,201
E =
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
p = 0,5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,0495%

Apie brokuotų gaminių dalį iš anksto nieko nežinoma. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,04?

p = 0,5E = 0,0495%
n =
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
−2,38p = ?

Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 80; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 3. Atsitiktinės 36 stebėjimų imties vidurkis 78,81. Tikrinkite H₀: μ = 80 prieš H₁: μ < 80. Raskite p reikšmę p.

μ₀ = 80σ = 3n = 36x̄ = 78,81H₁: μ < μ₀
p =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
z −1,9601,96

64 matavimų imties vidurkis – 73,6. Populiacijos standartinis nuokrypis – 5. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 73,6σ = 5n = 6495%
L =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy140243352450557659xy246405060

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6Σx = 21Σy = 301Σx² = 91Σy² = 15383Σxy = 1121
r =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy126221322416512611xy24610152025x = 2,5

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 2,5.

n = 6x = 2,5
ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 15,22

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 227/6 = 37,83

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 8,167² + 22,17² + (−8,833)² + (−8,833)² + 7,167² + (−19,83)² = 1159

Standartinis nuokrypis

s = √(1159/5) = 15,22

Atsakymas

s = 15,22
2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,3446

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = 0,4

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Atsakymas

P = 0,3446
3.Tikimybė

Atsakymas: N = 1287

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Deriniai

C(13, 5) = (13·12·11·10·9)/(5·4·3·2·1) = 1287

Atsakymas

N = 1287
4.Tikimybė

Atsakymas: σY = 4,023

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

X sklaida

μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σX = 0,8047

Tiesinis pokytis

σY = |5|·0,8047 = 4,023

Atsakymas

σY = 4,023

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 5·1,05 + 20 = 25,25.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 0,35

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,3632 = 0,6368

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,6368 ir nuskaitykite z.

z = 0,35

Atsakymas

z = 0,35
6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 172,1 cm

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Atgal į x

x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm

Atsakymas

x = 172,11 cm
7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 5,083

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 11, t = 2,201

Paklaidos riba

E = 2,201·8/√12 = 5,083

Atsakymas

E = 5,083
8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 601

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,04² = 600,2

Apvalinkite aukštyn

n = 601

Atsakymas

n = 601
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: p = 0,008656

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Testo statistika

SE = σ/√n = 3/√36 = 0,5
z = (78,81 − 80)/0,5 = −2,38

Uodegos plotas

Φ(2,38) = 0,9913
1 − Φ(2,38) = 0,0087

p reikšmė

p = 0,008656

Atsakymas

p = 0,008656

p ≤ 0,05, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 72,38

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 1,96·5/√64 = 1,225

Intervalo rėžis

L = 73,6 − 1,225 = 72,38

Atsakymas

L = 72,38
11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9594

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

Sxy = 1121 − 21·301/6 = 67,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 15383 − 301²/6 = 282,8

Koreliacijos koeficientas

r = 67,5/√(17,5·282,8) = 0,9594

Atsakymas

r = 0,9594
12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 21,09

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 108/6 = 18

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −54

Regresijos tiesė

b = −54/17,5 = −3,086
a = 18 − (−3,086)·3,5 = 28,8
ŷ = 28,8 − 3,086·x

Prognozė

ŷ = 28,8 + (−3,086)·2,5 = 21,09

Atsakymas

ŷ = 21,09

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1