Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis
202530354045505560

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 35, 60, 16, 23, 33.

n = 5
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 20. Raskite rezultato 76 z įvertį z.

μ = 100σ = 20x = 76
z =
3.TikimybėVidutinis
xp(x)00,3520,2540,260,2μ = 2,5

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,25, 0,2, 0,2
Var(X) =
4.TikimybėSunkus
n = 11, p = 0,6: P(X ≤ 1) = ?k01234567891011

Tikrinami 11 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,6. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 11p = 0,6
P =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
5085,5P = ?

Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 50 ir 85,5 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 65σ = 10x1 = 50x2 = 85,5
P =
6.Normalusis skirstinysSunkus
235240245250255260265gviršus 30%

maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 30 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 250 gσ = 5 g30%
x = g
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 12, s = 17,5L = ?Ux̄ = 49,5E95%

12 elementų imties vidurkis – 49,5, standartinis nuokrypis s = 17,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 12x̄ = 49,5s = 17,595%t(11) = 2,201
apatinis rėžis =
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 28, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 599%

Populiacijos standartinis nuokrypis – 28. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 5?

σ = 28E = 599%
n =
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
−1,961,96z = ?

Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 60 detalių imties vidutinis ilgis 43 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 17 mm. 2 linija: 40 detalių imties vidurkis 46 mm, žinomas standartinis nuokrypis 5 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).

n₁ = 60x̄₁ = 43 mmσ₁ = 17 mmn₂ = 40x̄₂ = 46 mmσ₂ = 5 mm
z =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
z −1,9601,96

36 matavimų imties vidurkis – 494,3. Populiacijos standartinis nuokrypis – 15. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.

x̄ = 494,3σ = 15n = 3695%
U =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy2446678141014xy51051015

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 30Σy = 45Σx² = 220Σy² = 493Σxy = 326
r =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy131230336444545xy2430354045x = 2,5

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 2,5.

n = 5x = 2,5
ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 16,74

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 167/5 = 33,4

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 1,6² + 26,6² + (−17,4)² + (−10,4)² + (−0,4)² = 1121

Standartinis nuokrypis

s = √(1121/4) = 16,74

Atsakymas

s = 16,74
2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −1,2

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = (76 − 100)/20 = −1,2

Atsakymas

z = −1,2
3.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 5,15

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,35 + 2·0,25 + 4·0,2 + 6·0,2 = 2,5

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,25 + 16·0,2 + 36·0,2 = 11,4

Dispersija

Var(X) = 11,4 − 2,5² = 5,15

Atsakymas

Var(X) = 5,15
4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,000734

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,411 = 4,194 × 10⁻⁵
P(X = 1) = 11·0,6·0,410 = 0,0006921

Sudėkite

P = 4,194 × 10⁻⁵ + 0,0006921 = 0,000734

Atsakymas

P = 0,000734
5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,913

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (50 − 65)/10 = −1,5
z₂ = (85,5 − 65)/10 = 2,05

Plotas tarp

P = Φ(2,05) − Φ(−1,5) = 0,9798 − 0,06681 = 0,913

Atsakymas

P = 0,913
6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 252,6 g

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,7

z iš lentelės

z ≈ 0,52

Atgal į pradinius vienetus

x = 250 + 0,52·5 = 252,6 g

Atsakymas

x = 252,6 g
7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 38,38

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 11, t = 2,201

Paklaidos riba

E = 2,201·17,5/√12 = 11,12

Intervalas

49,5 ± 11,12 → [38,38, 60,62]

Atsakymas

apatinis rėžis = 38,38
8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 209

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (2,576·28/5)² = 208,1

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 209

Atsakymas

n = 209
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = −1,286

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Skirtumo standartinė paklaida

SE = √(17²/60 + 5²/40) = √5,442 = 2,333

Testo statistika

z = (43 − 46)/2,333 = −1,286

Atsakymas

z = −1,286

|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: U = 499,2

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 1,96·15/√36 = 4,9

Intervalo rėžis

U = 494,3 + 4,9 = 499,2

Atsakymas

U = 499,2
11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9439

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

Sxy = 326 − 30·45/5 = 56
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 493 − 45²/5 = 88

Koreliacijos koeficientas

r = 56/√(40·88) = 0,9439

Atsakymas

r = 0,9439
12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 35,1

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 186/5 = 37,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 42

Regresijos tiesė

b = 42/10 = 4,2
a = 37,2 − 4,2·3 = 24,6
ŷ = 24,6 + 4,2·x

Prognozė

ŷ = 24,6 + 4,2·2,5 = 35,1

Atsakymas

ŷ = 35,1

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1