Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 43, 22, 38, 52, 43, 48.

n = 6

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 12. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 107,2?

μ = 100σ = 12x = 107,2

P =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,3, 0,3, 0,15

Var(X) =

4.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = 10X + 4. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,15, 0,3, 0,25Y = 10X + 4

σ_Y =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 60 s ir standartinis nuokrypis 5 s; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 45 s ir standartinis nuokrypis 4 s. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 111,4 s. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 111,4 s

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 60 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 65 tšk.σ = 10 tšk.60%

x = tšk.

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

15 elementų imties vidurkis – 18,5, standartinis nuokrypis s = 13,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 15x̄ = 18,5s = 13,590%t(14) = 1,761

viršutinis rėžis =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 5 sklypų, vidutinis derlius 11 kg, standartinis nuokrypis 2 kg. 2 sklypų grupė: 7 sklypų, vidurkis 7 kg, standartinis nuokrypis 4,5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n₁ = 5x̄₁ = 11s₁ = 2n₂ = 7x̄₂ = 7s₂ = 4,595%t(10) = 2,228

viršutinis rėžis = kg

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 10 studentų, vidutinis rezultatas 31, standartinis nuokrypis 8,5. 2 grupė: 21 studentų, vidutinis rezultatas 23,3, standartinis nuokrypis 10. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).

n₁ = 10x̄₁ = 31s₁ = 8,5n₂ = 21x̄₂ = 23,3s₂ = 10

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas, kai α = 0,05, turi aptikti 2,5 vienetų vidurkio poslinkį su 80 % galia. Standartinis nuokrypis 25. Raskite mažiausią imties dydį n.

α = 0,05galia = 80%δ = 2,5σ = 25z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 6

r² =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 20?

n = 5ŷ = 20

x =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 10,47

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 246/6 = 41

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 2² + (−19)² + (−3)² + 11² + 2² + 7² = 548

Standartinis nuokrypis

s = √(548/5) = 10,47

Atsakymas

s = 10,47

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,2743

Standartizuokite

z = 0,6

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Atsakymas

P = 0,2743

3.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 1,028

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,25 + 1·0,3 + 2·0,3 + 3·0,15 = 1,35

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,3 + 4·0,3 + 9·0,15 = 2,85

Dispersija

Var(X) = 2,85 − 1,35² = 1,028

Atsakymas

Var(X) = 1,028

4.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 23,24

X sklaida

μ = 3, Var(X) = 5,4, σ_X = 2,324

Tiesinis pokytis

σ_Y = |10|·2,324 = 23,24

Atsakymas

σ_Y = 23,24

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 10·3 + 4 = 34.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,1587

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standartizuokite

z = (111,4 − 105)/6,403 = 1

Viršutinė uodega

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

Atsakymas

P = 0,1587

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 67,5 tšk.

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,6

z iš lentelės

z ≈ 0,25

Atgal į pradinius vienetus

x = 65 + 0,25·10 = 67,5 tšk.

Atsakymas

x = 67,5 tšk.

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 24,64

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 14, t = 1,761

Paklaidos riba

E = 1,761·13,5/√15 = 6,138

Intervalas

18,5 ± 6,138 → [12,36, 24,64]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 24,64

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 8,838 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Jungtinis standartinis nuokrypis

s_p² = (4·2² + 6·4,5²)/10 = 13,75

s_p = 3,708

Paklaidos riba

E = 2,228·3,708·√(1/5 + 1/7) = 4,838

Intervalas

4 ± 4,838 → [−0,8375, 8,838]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 8,838 kg

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,096

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Jungtinė dispersija

s_p² = (9·8,5² + 20·10²)/29 = 91,39

s_p = 9,56

Standartinė paklaida

SE = 9,56·√(1/10 + 1/21) = 3,673

Testo statistika

t = (31 − 23,3)/3,673 = 2,096

Atsakymas

t = 2,096

Kai df = 29, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,045; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 619

Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.

Išreikškite n

n = ((1,645 + 0,842)·25/2,5)² = 618,5

Apvalinkite aukštyn

n = 619

Atsakymas

n = 619

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9559

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 147/6 = 24,5

ȳ = 387/6 = 64,5

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 508,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1718

Determinacijos koeficientas

r² = 508,5²/(157,5·1718) = 0,9559

Atsakymas

r² = 0,9559

Apie 95,59% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 4,231

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 108/5 = 21,6

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −13

Regresijos tiesė

b = −13/10 = −1,3

a = 21,6 − (−1,3)·3 = 25,5

ŷ = 25,5 − 1,3·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (20 − 25,5)/(−1,3) = 4,231

Atsakymas

x = 4,231

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1