Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 56, 21, 36, 15, 51, 11.

n = 6

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 8. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 42?

μ = 50σ = 8x = 42

P =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

Var(X) =

4.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = 2X + 1. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,2, 0,2, 0,3Y = 2X + 1

σ_Y =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 60 s ir standartinis nuokrypis 5 s; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 45 s ir standartinis nuokrypis 4 s. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 114,6 s. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 114,6 s

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,05 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

skylė: μ = 25,05 mm, σ = 0,015 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

20 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 4,6, o standartinis nuokrypis 5,5. Raskite vidutinio skirtumo 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 20d̄ = 4,6s_d = 5,590%t(19) = 1,729

apatinis rėžis = mmHg

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 5 sklypų, vidutinis derlius 59,5 kg, standartinis nuokrypis 5 kg. 2 sklypų grupė: 11 sklypų, vidurkis 71 kg, standartinis nuokrypis 2 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n₁ = 5x̄₁ = 59,5s₁ = 5n₂ = 11x̄₂ = 71s₂ = 290%t(14) = 1,761

apatinis rėžis = kg

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 9 studentų, vidutinis rezultatas 31,5, standartinis nuokrypis 11. 2 grupė: 8 studentų, vidutinis rezultatas 42,5, standartinis nuokrypis 5. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).

n₁ = 9x̄₁ = 31,5s₁ = 11n₂ = 8x̄₂ = 42,5s₂ = 5

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas, kai α = 0,05, turi aptikti 1,5 vienetų vidurkio poslinkį su 95 % galia. Standartinis nuokrypis 4. Raskite mažiausią imties dydį n.

α = 0,05galia = 95%δ = 1,5σ = 4z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 5

r² =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 17.

n = 5x = 17

ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 18,99

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 190/6 = 31,67

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 24,33² + (−10,67)² + 4,333² + (−16,67)² + 19,33² + (−20,67)² = 1803

Standartinis nuokrypis

s = √(1803/5) = 18,99

Atsakymas

s = 18,99

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,8413

Standartizuokite

z = −1

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Atsakymas

P = 0,8413

3.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 0,6475

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Dispersija

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

Atsakymas

Var(X) = 0,6475

4.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 4,817

X sklaida

μ = 3, Var(X) = 5,8, σ_X = 2,408

Tiesinis pokytis

σ_Y = |2|·2,408 = 4,817

Atsakymas

σ_Y = 4,817

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 2·3 + 1 = 7.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,06681

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standartizuokite

z = (114,6 − 105)/6,403 = 1,5

Viršutinė uodega

P = 1 − Φ(1,5) = 1 − 0,9332 = 0,06681

Atsakymas

P = 0,06681

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,9909

Skirtumo skirstinys

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02121 mm

Standartizuokite

z = (0 − 0,05)/0,02121 = −2,36

Tikimybė

P = 1 − Φ(−2,36) = 0,9909

Atsakymas

P = 0,9909

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 2,474 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritinė reikšmė

df = 19, t = 1,729

Paklaidos riba

E = 1,729·5,5/√20 = 2,126

Intervalas

4,6 ± 2,126 → [2,474, 6,726]

Atsakymas

apatinis rėžis = 2,474 mmHg

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = −14,5 kg

Jungtinis standartinis nuokrypis

s_p² = (4·5² + 10·2²)/14 = 10

s_p = 3,162

Paklaidos riba

E = 1,761·3,162·√(1/5 + 1/11) = 3,004

Intervalas

−11,5 ± 3,004 → [−14,5, −8,496]

Atsakymas

apatinis rėžis = −14,5 kg

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,593

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Jungtinė dispersija

s_p² = (8·11² + 7·5²)/15 = 76,2

s_p = 8,729

Standartinė paklaida

SE = 8,729·√(1/9 + 1/8) = 4,242

Testo statistika

t = (31,5 − 42,5)/4,242 = −2,593

Atsakymas

t = −2,593

Kai df = 15, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,131; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 77

Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.

Išreikškite n

n = ((1,645 + 1,645)·4/1,5)² = 76,97

Apvalinkite aukštyn

n = 77

Atsakymas

n = 77

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9548

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 119/5 = 23,8

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 70,8

Determinacijos koeficientas

r² = −26²/(10·70,8) = 0,9548

Atsakymas

r² = 0,9548

Apie 95,48% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 52,4

Vidurkiai

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 275/5 = 55

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104

Regresijos tiesė

b = 104/40 = 2,6

a = 55 − 2,6·18 = 8,2

ŷ = 8,2 + 2,6·x

Prognozė

ŷ = 8,2 + 2,6·17 = 52,4

Atsakymas

ŷ = 52,4

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1