Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 36, 52, 51, 25, 18.

n = 5

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 12. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 182?

μ = 170σ = 12x = 182

P =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,1, 0,35, 0,25

Var(X) =

4.TikimybėSunkus

Žaidimo kaina yra €2. Laimite €8 su tikimybe 0,25 ir €100 su tikimybe 0,01; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €2€8: p = 0,25€100: p = 0,01

E(G) = €

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,6879. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,6879

z =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 80 % reikšmių (80-asis procentilis).

μ = 500σ = 40P = 80%

x = h

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

13 elementų imties vidurkis – 15, standartinis nuokrypis s = 18,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 13x̄ = 15s = 18,599%t(12) = 3,055

viršutinis rėžis =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Apie brokuotų gaminių dalį iš anksto nieko nežinoma. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,02?

p = 0,5E = 0,0299%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

36 studentų imties vidutinis rezultatas – 54,2, imties standartinis nuokrypis – 12. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 54,2s = 12n = 36

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 4 vienetų vidurkio poslinkį su 95 % galia. Standartinis nuokrypis 10. Raskite mažiausią imties dydį n.

α = 0,01galia = 95%δ = 4σ = 10z_α = 2,326z_β = 1,645

n =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 6

r² =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (23, 93). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 5(23, 93)

e =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 15,21

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 182/5 = 36,4

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−0,4)² + 15,6² + 14,6² + (−11,4)² + (−18,4)² = 925,2

Standartinis nuokrypis

s = √(925,2/4) = 15,21

Atsakymas

s = 15,21

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,8413

Standartizuokite

z = 1

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Atsakymas

P = 0,8413

3.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 5,39

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,3 + 2·0,1 + 4·0,35 + 6·0,25 = 3,1

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,1 + 16·0,35 + 36·0,25 = 15

Dispersija

Var(X) = 15 − 3,1² = 5,39

Atsakymas

Var(X) = 5,39

4.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = 1 €

Grynosios baigtys

G: 6 (p = 0,25), 98 (p = 0,01), −2 (p = 0,74)

Laukiamoji vertė

E(G) = 6·0,25 + 98·0,01 − 2·0,74 = 1 €

Atsakymas

E(G) = 1 €

Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = −0,49

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,6879 = 0,3121

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,3121 ir nuskaitykite z.

z = −0,49

Atsakymas

z = −0,49

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 533,7 h

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Atgal į x

x = 500 + 0,8416·40 = 533,66 h

Atsakymas

x = 533,66 h

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 30,68

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 12, t = 3,055

Paklaidos riba

E = 3,055·18,5/√13 = 15,68

Intervalas

15 ± 15,68 → [−0,6751, 30,68]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 30,68

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 4148

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,02² = 4147

Apvalinkite aukštyn

n = 4148

Atsakymas

n = 4148

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,1

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

Testo statistika

t = (54,2 − 50)/2 = 2,1

Atsakymas

t = 2,1

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 99

Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.

Išreikškite n

n = ((2,326 + 1,645)·10/4)² = 98,56

Apvalinkite aukštyn

n = 99

Atsakymas

n = 99

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,8974

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 107/6 = 17,83

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 84,83

Determinacijos koeficientas

r² = −36,5²/(17,5·84,83) = 0,8974

Atsakymas

r² = 0,8974

Apie 89,74% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = 1,85

Vidurkiai

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 435/5 = 87

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 166

Regresijos tiesė

b = 166/40 = 4,15

a = 87 − 4,15·22 = −4,3

ŷ = −4,3 + 4,15·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = −4,3 + 4,15·23 = 91,15

Liekana

e = 93 − 91,15 = 1,85

Atsakymas

e = 1,85

Taškas yra virš tiesės.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1