Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 29, 10, 17, 46, 41, 51.

n = 6

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 10. Raskite rezultato 88 z įvertį z.

μ = 100σ = 10x = 88

z =

3.TikimybėVidutinis

Keliais būdais N iš 6 žmonių grupės galima išrinkti 2 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.

n = 6k = 2

N =

4.TikimybėSunkus

Tikrinami 5 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,3. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 5p = 0,3

P =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9722. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,9722

z =

6.Normalusis skirstinysSunkus

egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 80 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 65 tšk.σ = 10 tšk.80%

x = tšk.

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

7 elementų imties vidurkis – 104,5, standartinis nuokrypis s = 12,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 7x̄ = 104,5s = 12,590%t(6) = 1,943

apatinis rėžis =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 32. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1?

σ = 32E = 199%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

49 studentų imties vidutinis rezultatas – 203,3, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 203,3s = 8n = 49

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas H₀: μ = 200 prieš H₁: μ < 200 atliekamas, kai α = 0.10, su 36 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 18. Iš tikrųjų vidurkis lygus 196.1. Raskite testo galią 1 − β procentais.

μ₀ = 200μ = 196,1σ = 18n = 36α = 0,10

1 − β = %

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6

r =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 48?

n = 5ŷ = 48

x =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 16,46

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 194/6 = 32,33

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−3,333)² + (−22,33)² + (−15,33)² + 13,67² + 8,667² + 18,67² = 1355

Standartinis nuokrypis

s = √(1355/5) = 16,46

Atsakymas

s = 16,46

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −1,2

Standartizuokite

z = (88 − 100)/10 = −1,2

Atsakymas

z = −1,2

3.Tikimybė

Atsakymas: N = 15

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Deriniai

C(6, 2) = (6·5)/(2·1) = 15

Atsakymas

N = 15

4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,5282

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,7⁵ = 0,1681

P(X = 1) = 5·0,3·0,7⁴ = 0,3601

Sudėkite

P = 0,1681 + 0,3601 = 0,5282

Atsakymas

P = 0,5282

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 2,2

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,9722)/2 = 0,9861

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,9861 ir nuskaitykite z.

z = 2,20

Atsakymas

z = 2,20

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 56,6 tšk.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,2

z iš lentelės

z ≈ −0,84

Atgal į pradinius vienetus

x = 65 − 0,84·10 = 56,6 tšk.

Atsakymas

x = 56,6 tšk.

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 95,32

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 6, t = 1,943

Paklaidos riba

E = 1,943·12,5/√7 = 9,18

Intervalas

104,5 ± 9,18 → [95,32, 113,7]

Atsakymas

apatinis rėžis = 95,32

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 6796

Išreikškite n

n = (2,576·32/1)² = 6795

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 6796

Atsakymas

n = 6796

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,888

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143

Testo statistika

t = (203,3 − 200)/1,143 = 2,888

Atsakymas

t = 2,888

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: 1 − β = 50,72 %

Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritinis imties vidurkis

SE = 18/√36 = 3

x̄_c = 200 − 1,282·3 = 196,2

z esant tikrajam vidurkiui

z = (196,2 − 196,1)/3 = 0,018

Galia

galia = P(Z < 0.018) = 50.72%

1 − β = 50,72%

Atsakymas

1 − β = 50,72%

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = −0,8825

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 125/6 = 20,83

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 30,83

Koreliacijos koeficientas

r = −20,5/√(17,5·30,83) = −0,8825

Atsakymas

r = −0,8825

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 2,009

Vidurkiai

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 320/5 = 64

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 214

Regresijos tiesė

b = 214/40 = 5,35

a = 64 − 5,35·5 = 37,25

ŷ = 37,25 + 5,35·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (48 − 37,25)/5,35 = 2,009

Atsakymas

x = 2,009

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1