Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 18, 12, 22, 13, 54, 40, 53.

n = 7

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 10. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 38?

μ = 50σ = 10x = 38

P =

3.TikimybėVidutinis

Keliais būdais N iš 10 žmonių grupės galima išrinkti 3 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.

n = 10k = 3

N =

4.TikimybėSunkus

Teste yra 8 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,3, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 4?

n = 8p = 0,3k = 4

P =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,9207. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,9207

z =

6.Normalusis skirstinysSunkus

IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 30 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 100 tšk.σ = 15 tšk.30%

x = tšk.

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

25 elementų imties vidurkis – 104,5, standartinis nuokrypis s = 20. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 25x̄ = 104,5s = 2099%t(24) = 2,797

viršutinis rėžis =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 22. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1?

σ = 22E = 190%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

25 studentų imties vidutinis rezultatas – 201,1, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 201,1s = 8n = 25

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Klinikiniame tyrime pasveiksta 70 iš 100 pacientų, gydytų A būdu, ir 186 iš 300 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 70n₁ = 100x₂ = 186n₂ = 300

z =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 6

r² =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 1,5.

n = 6x = 1,5

ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 18,37

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 212/7 = 30,29

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−12,29)² + (−18,29)² + (−8,286)² + (−17,29)² + 23,71² + 9,714² + 22,71² = 2025

Standartinis nuokrypis

s = √(2025/6) = 18,37

Atsakymas

s = 18,37

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,1151

Standartizuokite

z = −1,2

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Atsakymas

P = 0,1151

3.Tikimybė

Atsakymas: N = 120

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Deriniai

C(10, 3) = (10·9·8)/(3·2·1) = 120

Atsakymas

N = 120

4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,1361

Binominė formulė

P(X = 4) = 70·0,3⁴·0,7⁴ = 70·0,0081·0,2401 = 0,1361

Atsakymas

P = 0,1361

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = −1,41

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,9207 = 0,0793

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,0793 ir nuskaitykite z.

z = −1,41

Atsakymas

z = −1,41

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 107,8 tšk.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,7

z iš lentelės

z ≈ 0,52

Atgal į pradinius vienetus

x = 100 + 0,52·15 = 107,8 tšk.

Atsakymas

x = 107,8 tšk.

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 115,7

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 24, t = 2,797

Paklaidos riba

E = 2,797·20/√25 = 11,19

Intervalas

104,5 ± 11,19 → [93,31, 115,7]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 115,7

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 1310

Išreikškite n

n = (1,645·22/1)² = 1310

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 1310

Atsakymas

n = 1310

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 0,6875

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 8/√25 = 8/5 = 1,6

Testo statistika

t = (201,1 − 200)/1,6 = 0,6875

Atsakymas

t = 0,6875

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = 1,443

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Imčių dalys

p̂₁ = 70/100 = 0,7

p̂₂ = 186/300 = 0,62

p̂ = 256/400 = 0,64

Standartinė paklaida pagal H₀

SE = √(0,64·0,36·(1/100 + 1/300)) = 0,05543

Testo statistika

z = (0,7 − 0,62)/0,05543 = 1,443

Atsakymas

z = 1,443

|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9902

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 141/6 = 23,5

ȳ = 480/6 = 80

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 531

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1808

Determinacijos koeficientas

r² = 531²/(157,5·1808) = 0,9902

Atsakymas

r² = 0,9902

Apie 99,02% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 22,2

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 113/6 = 18,83

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29,5

Regresijos tiesė

b = −29,5/17,5 = −1,686

a = 18,83 − (−1,686)·3,5 = 24,73

ŷ = 24,73 − 1,686·x

Prognozė

ŷ = 24,73 + (−1,686)·1,5 = 22,2

Atsakymas

ŷ = 22,2

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1