Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 39, 33, 51, 39, 49, 31, 28.

n = 7

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 8. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 84?

μ = 100σ = 8x = 84

P =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,3, 0,1, 0,35

Var(X) =

4.TikimybėSunkus

Žaidimo kaina yra €3. Laimite €9 su tikimybe 0,2 ir €30 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €3€9: p = 0,2€30: p = 0,02

E(G) = €

5.Normalusis skirstinysVidutinis

dėžės masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 12 kg, standartinis nuokrypis 0,8 kg. Raskite tikimybę P, kad 9 iš jų bendra masė viršija 106,8 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 9> 106,8 kg

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 5 % reikšmių (5-asis procentilis).

μ = 32σ = 6P = 5%

x = min

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 100 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 4,4. Kokia bus paklaidos riba E₂, jei tame pačiame tyrime bus naudojama 25 stebėjimų?

99%n₁ = 100E₁ = 4,4n₂ = 25

E₂ =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,8. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,025?

p ≈ 0,8E = 0,02599%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 40 detalių imties vidutinis ilgis 47 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 8 mm. 2 linija: 80 detalių imties vidurkis 44,4 mm, žinomas standartinis nuokrypis 12 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).

n₁ = 40x̄₁ = 47 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 80x̄₂ = 44,4 mmσ₂ = 12 mm

z =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas, kai α = 0,05, turi aptikti 2,5 vienetų vidurkio poslinkį su 95 % galia. Standartinis nuokrypis 15. Raskite mažiausią imties dydį n.

α = 0,05galia = 95%δ = 2,5σ = 15z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5

r =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 7.

n = 5x = 7

ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 8,791

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 270/7 = 38,57

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 0,4286² + (−5,571)² + 12,43² + 0,4286² + 10,43² + (−7,571)² + (−10,57)² = 463,7

Standartinis nuokrypis

s = √(463,7/6) = 8,791

Atsakymas

s = 8,791

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,02275

Standartizuokite

z = −2

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Atsakymas

P = 0,02275

3.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 144,8

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 10·0,25 + 20·0,3 + 30·0,1 + 40·0,35 = 25,5

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 100·0,25 + 400·0,3 + 900·0,1 + 1600·0,35 = 795

Dispersija

Var(X) = 795 − 25,5² = 144,8

Atsakymas

Var(X) = 144,8

4.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = −0,6 €

Grynosios baigtys

G: 6 (p = 0,2), 27 (p = 0,02), −3 (p = 0,78)

Laukiamoji vertė

E(G) = 6·0,2 + 27·0,02 − 3·0,78 = −0,6 €

Atsakymas

E(G) = −0,6 €

Neigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai prarandate pinigus.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,6915

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ_T = 108 kg, σ_T = 0,8·√9 = 2,4 kg

Standartizuokite

z = (106,8 − 108)/2,4 = −0,5

Tikimybė

P = 1 − Φ(−0,5) = 0,6915

Atsakymas

P = 0,6915

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 22,13 min

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Atgal į x

x = 32 + −1,645·6 = 22,13 min

Atsakymas

x = 22,13 min

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E₂ = 8,8

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Paklaidos ribų santykis

E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(100/25) = 2

Nauja paklaidos riba

E₂ = 4,4·2 = 8,8

Atsakymas

E₂ = 8,8

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 1699

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 2,576²·0,8·0,2/0,025² = 1699

Apvalinkite aukštyn

n = 1699

Atsakymas

n = 1699

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = 1,41

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Skirtumo standartinė paklaida

SE = √(8²/40 + 12²/80) = √3,4 = 1,844

Testo statistika

z = (47 − 44,4)/1,844 = 1,41

Atsakymas

z = 1,41

|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 390

Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.

Išreikškite n

n = ((1,645 + 1,645)·15/2,5)² = 389,7

Apvalinkite aukštyn

n = 390

Atsakymas

n = 390

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9643

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 299/5 = 59,8

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 134

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 482,8

Koreliacijos koeficientas

r = 134/√(40·482,8) = 0,9643

Atsakymas

r = 0,9643

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 44,2

Vidurkiai

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 206/5 = 41,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 120

Regresijos tiesė

b = 120/40 = 3

a = 41,2 − 3·6 = 23,2

ŷ = 23,2 + 3·x

Prognozė

ŷ = 23,2 + 3·7 = 44,2

Atsakymas

ŷ = 44,2

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1