Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 29, 19, 12, 47, 19, 16, 10.

n = 7

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 8. Raskite rezultato 76 z įvertį z.

μ = 60σ = 8x = 76

z =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,3, 0,3, 0,35

Var(X) =

4.TikimybėSunkus

Tikrinami 12 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,5. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 12p = 0,5

P =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 120 mm ir standartinis nuokrypis 0,3 mm; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 80 mm ir standartinis nuokrypis 0,4 mm. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 200,6 mm. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 200,6 mm

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 15 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 250 gσ = 5 g15%

x = g

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 36 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 5,2. Kokia yra 95 % intervalo, pagrįsto 72 stebėjimais, paklaidos riba E₂?

99%n₁ = 36E₁ = 5,295%n₂ = 72

E₂ =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 10 sklypų, vidutinis derlius 82,5 kg, standartinis nuokrypis 3 kg. 2 sklypų grupė: 11 sklypų, vidurkis 75,5 kg, standartinis nuokrypis 4,5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n₁ = 10x̄₁ = 82,5s₁ = 3n₂ = 11x̄₂ = 75,5s₂ = 4,595%t(19) = 2,093

apatinis rėžis = kg

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 60 detalių imties vidutinis ilgis 83,5 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 10 mm. 2 linija: 100 detalių imties vidurkis 88,2 mm, žinomas standartinis nuokrypis 18 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).

n₁ = 60x̄₁ = 83,5 mmσ₁ = 10 mmn₂ = 100x̄₂ = 88,2 mmσ₂ = 18 mm

z =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Klinikiniame tyrime pasveiksta 36 iš 120 pacientų, gydytų A būdu, ir 24 iš 100 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 36n₁ = 120x₂ = 24n₂ = 100

z =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 5

r² =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (5,5, 53). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(5,5, 53)

e =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 12,72

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 152/7 = 21,71

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 7,286² + (−2,714)² + (−9,714)² + 25,29² + (−2,714)² + (−5,714)² + (−11,71)² = 971,4

Standartinis nuokrypis

s = √(971,4/6) = 12,72

Atsakymas

s = 12,72

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = 2

Standartizuokite

z = (76 − 60)/8 = 2

Atsakymas

z = 2

3.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 0,8475

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 1·0,05 + 2·0,3 + 3·0,3 + 4·0,35 = 2,95

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 1·0,05 + 4·0,3 + 9·0,3 + 16·0,35 = 9,55

Dispersija

Var(X) = 9,55 − 2,95² = 0,8475

Atsakymas

Var(X) = 0,8475

4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,003174

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,5¹² = 0,0002441

P(X = 1) = 12·0,5·0,5¹¹ = 0,00293

Sudėkite

P = 0,0002441 + 0,00293 = 0,003174

Atsakymas

P = 0,003174

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,1151

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standartizuokite

z = (200,6 − 200)/0,5 = 1,2

Viršutinė uodega

P = 1 − Φ(1,2) = 1 − 0,8849 = 0,1151

Atsakymas

P = 0,1151

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 255,2 g

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,85

z iš lentelės

z ≈ 1,04

Atgal į pradinius vienetus

x = 250 + 1,04·5 = 255,2 g

Atsakymas

x = 255,2 g

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E₂ = 2,798

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Paklaidos ribų santykis

E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(36/72) = 0,538

Nauja paklaidos riba

E₂ = 5,2·0,538 = 2,798

Atsakymas

E₂ = 2,798

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 3,467 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Jungtinis standartinis nuokrypis

s_p² = (9·3² + 10·4,5²)/19 = 14,92

s_p = 3,863

Paklaidos riba

E = 2,093·3,863·√(1/10 + 1/11) = 3,533

Intervalas

7 ± 3,533 → [3,467, 10,53]

Atsakymas

apatinis rėžis = 3,467 kg

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = −2,122

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Skirtumo standartinė paklaida

SE = √(10²/60 + 18²/100) = √4,907 = 2,215

Testo statistika

z = (83,5 − 88,2)/2,215 = −2,122

Atsakymas

z = −2,122

|z| > 1,96, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = 0,995

Imčių dalys

p̂₁ = 36/120 = 0,3

p̂₂ = 24/100 = 0,24

p̂ = 60/220 = 0,2727

Standartinė paklaida pagal H₀

SE = √(0,2727·0,7273·(1/120 + 1/100)) = 0,0603

Testo statistika

z = (0,3 − 0,24)/0,0603 = 0,995

Atsakymas

z = 0,995

|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9945

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 382/5 = 76,4

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 293,2

Determinacijos koeficientas

r² = 54²/(10·293,2) = 0,9945

Atsakymas

r² = 0,9945

Apie 99,45% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = −3,952

Vidurkiai

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 304/6 = 50,67

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 110

Regresijos tiesė

b = 110/17,5 = 6,286

a = 50,67 − 6,286·4,5 = 22,38

ŷ = 22,38 + 6,286·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 22,38 + 6,286·5,5 = 56,95

Liekana

e = 53 − 56,95 = −3,952

Atsakymas

e = −3,952

Taškas yra po tiese.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1