Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis
152025303540455055

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 39, 14, 19, 53, 42, 56.

n = 6
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 12. Raskite rezultato 65 z įvertį z.

μ = 50σ = 12x = 65
z =
3.TikimybėVidutinis
xp(x)00,2510,220,230,35μ = 1,65

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,2, 0,2, 0,35
σ =
4.TikimybėSunkus
xp(x)00,310,3520,35μ

X turi parodytą skirstinį, o Y = 10X + 4. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 10X + 4
σY =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
−3−2−10123znuspalvintas plotas dešinėje nuo z = 0,6179

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,6179. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,6179
z =
6.Normalusis skirstinysSunkus
μ = 250x = ?25%

Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 25 % reikšmių (25-asis procentilis).

μ = 250σ = 5P = 25%
x = g
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 20, sd​ = 0,70L = ?Ud̄ = −9,4E95%

20 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis −9,4, o standartinis nuokrypis 0,7. Raskite vidutinio skirtumo 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 20d̄ = −9,4sd = 0,795%t(19) = 2,093
apatinis rėžis = mmHg
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 37, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1,590%

Populiacijos standartinis nuokrypis – 37. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1,5?

σ = 37E = 1,590%
n =
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
t −2,0302,03

36 studentų imties vidutinis rezultatas – 122,3, imties standartinis nuokrypis – 20. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 122,3s = 20n = 36
t =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
z −1,9601,96

64 matavimų imties vidurkis – 42,5. Populiacijos standartinis nuokrypis – 20. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.

x̄ = 42,5σ = 20n = 6495%
U =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy1513735867939113xy56080100120

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 25Σy = 416Σx² = 165Σy² = 36744Σxy = 2368
r =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy12722132141651468xy2461020x = 1,5

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 1,5.

n = 6x = 1,5
ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 17,31

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 223/6 = 37,17

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 1,833² + (−23,17)² + (−18,17)² + 15,83² + 4,833² + 18,83² = 1499

Standartinis nuokrypis

s = √(1499/5) = 17,31

Atsakymas

s = 17,31
2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = 1,25

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = (65 − 50)/12 = 1,25

Atsakymas

z = 1,25
3.Tikimybė

Atsakymas: σ = 1,195

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,25 + 1·0,2 + 2·0,2 + 3·0,35 = 1,65

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,2 + 4·0,2 + 9·0,35 = 4,15

Dispersija

Var(X) = 4,15 − 1,65² = 1,428
σ = √1,428 = 1,195

Atsakymas

σ = 1,195
4.Tikimybė

Atsakymas: σY = 8,047

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

X sklaida

μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σX = 0,8047

Tiesinis pokytis

σY = |10|·0,8047 = 8,047

Atsakymas

σY = 8,047

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 10·1,05 + 4 = 14,5.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = −0,3

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,6179 = 0,3821

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,3821 ir nuskaitykite z.

z = −0,30

Atsakymas

z = −0,30
6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 246,6 g

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Atgal į x

x = 250 + −0,6745·5 = 246,63 g

Atsakymas

x = 246,63 g
7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = −9,728 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritinė reikšmė

df = 19, t = 2,093

Paklaidos riba

E = 2,093·0,7/√20 = 0,3276

Intervalas

−9,4 ± 0,3276 → [−9,728, −9,072]

Atsakymas

apatinis rėžis = −9,728 mmHg
8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 1647

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (1,645·37/1,5)² = 1646

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 1647

Atsakymas

n = 1647
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 0,69

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333

Testo statistika

t = (122,3 − 120)/3,333 = 0,69

Atsakymas

t = 0,69
t0,025; df = 35 = 2,03

|t| < 2.03, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: U = 47,4

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 1,96·20/√64 = 4,9

Intervalo rėžis

U = 42,5 + 4,9 = 47,4

Atsakymas

U = 47,4
11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,986

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

Sxy = 2368 − 25·416/5 = 288
Sxx = 165 − 25²/5 = 40
Syy = 36744 − 416²/5 = 2133

Koreliacijos koeficientas

r = 288/√(40·2133) = 0,986

Atsakymas

r = 0,986
12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 24,75

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 107/6 = 17,83

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −60,5

Regresijos tiesė

b = −60,5/17,5 = −3,457
a = 17,83 − (−3,457)·3,5 = 29,93
ŷ = 29,93 − 3,457·x

Prognozė

ŷ = 29,93 + (−3,457)·1,5 = 24,75

Atsakymas

ŷ = 24,75

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1