Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 59, 56, 57, 55, 24, 40, 42.

n = 7

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 5. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 52?

μ = 50σ = 5x = 52

P =

3.TikimybėVidutinis

Simetriškas kauliukas metamas 2 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?

n = 2

P =

4.TikimybėSunkus

Tikrinami 6 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,1. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 6p = 0,1

P =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Kokia dalis reikšmių yra tarp 242,75 ir 255,25 g? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 250σ = 5x₁ = 242,75x₂ = 255,25

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 99 % reikšmių (99-asis procentilis).

μ = 178σ = 7P = 99%

x = cm

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

11 elementų imties vidurkis – 13, standartinis nuokrypis s = 14,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 11x̄ = 13s = 14,599%t(10) = 3,169

E =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 18. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2?

σ = 18E = 299%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 13 studentų, vidutinis rezultatas 64, standartinis nuokrypis 4,5. 2 grupė: 13 studentų, vidutinis rezultatas 68,3, standartinis nuokrypis 12. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).

n₁ = 13x̄₁ = 64s₁ = 4,5n₂ = 13x̄₂ = 68,3s₂ = 12

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Klinikiniame tyrime pasveiksta 50 iš 100 pacientų, gydytų A būdu, ir 34 iš 80 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 50n₁ = 100x₂ = 34n₂ = 80

z =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5

r =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 25.

n = 5x = 25

ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 12,84

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 333/7 = 47,57

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 11,43² + 8,429² + 9,429² + 7,429² + (−23,57)² + (−7,571)² + (−5,571)² = 989,7

Standartinis nuokrypis

s = √(989,7/6) = 12,84

Atsakymas

s = 12,84

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,3446

Standartizuokite

z = 0,4

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Atsakymas

P = 0,3446

3.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,3056

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Priešingas įvykis

P(nėra šešeto) = (5/6)² = 0,6944

P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Atsakymas

P = 0,3056

4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,8857

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,9⁶ = 0,5314

P(X = 1) = 6·0,1·0,9⁵ = 0,3543

Sudėkite

P = 0,5314 + 0,3543 = 0,8857

Atsakymas

P = 0,8857

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,7796

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (242,75 − 250)/5 = −1,45

z₂ = (255,25 − 250)/5 = 1,05

Plotas tarp

P = Φ(1,05) − Φ(−1,45) = 0,8531 − 0,07353 = 0,7796

Atsakymas

P = 0,7796

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 194,3 cm

Procentilio z

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Atgal į x

x = 178 + 2,326·7 = 194,28 cm

Atsakymas

x = 194,28 cm

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 13,85

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 10, t = 3,169

Paklaidos riba

E = 3,169·14,5/√11 = 13,85

Atsakymas

E = 13,85

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 538

Išreikškite n

n = (2,576·18/2)² = 537,5

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 538

Atsakymas

n = 538

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −1,21

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Jungtinė dispersija

s_p² = (12·4,5² + 12·12²)/24 = 82,13

s_p = 9,062

Standartinė paklaida

SE = 9,062·√(1/13 + 1/13) = 3,555

Testo statistika

t = (64 − 68,3)/3,555 = −1,21

Atsakymas

t = −1,21

Kai df = 24, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,064; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = 1,002

Imčių dalys

p̂₁ = 50/100 = 0,5

p̂₂ = 34/80 = 0,425

p̂ = 84/180 = 0,4667

Standartinė paklaida pagal H₀

SE = √(0,4667·0,5333·(1/100 + 1/80)) = 0,07483

Testo statistika

z = (0,5 − 0,425)/0,07483 = 1,002

Atsakymas

z = 1,002

|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = −0,9825

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 89/5 = 17,8

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 54,8

Koreliacijos koeficientas

r = −23/√(10·54,8) = −0,9825

Atsakymas

r = −0,9825

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 82,4

Vidurkiai

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 346/5 = 69,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 176

Regresijos tiesė

b = 176/40 = 4,4

a = 69,2 − 4,4·22 = −27,6

ŷ = −27,6 + 4,4·x

Prognozė

ŷ = −27,6 + 4,4·25 = 82,4

Atsakymas

ŷ = 82,4

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1