Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
2Uždaviniai
1.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 10, 16, 19, 29, 30, 30, 13.
n = 7
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 12. Raskite rezultato 112 z įvertį z.
μ = 100σ = 12x = 112
z =
3.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35
Var(X) =
4.TikimybėSunkus
Tikrinami 7 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,6. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?
n = 7p = 0,6
P =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 55,5 ir 77,5 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 65σ = 10x1 = 55,5x2 = 77,5
P =
6.Normalusis skirstinysSunkus
suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 40 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 178 cmσ = 7 cm40%
x = cm
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
10 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis −7,4, o standartinis nuokrypis 1,5. Raskite vidutinio skirtumo 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.
n = 10d̄ = −7,4sd = 1,599%t(9) = 3,25
viršutinis rėžis = mmHg
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
15 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 3,4 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 14, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 5,629, o 2,5 % – aukščiau 26,119.
n = 15s = 3,4 µmχ² = 5,629, 26,119
σ = µm
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 60 detalių imties vidutinis ilgis 91 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 10 mm. 2 linija: 80 detalių imties vidurkis 96,9 mm, žinomas standartinis nuokrypis 15 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).
n₁ = 60x̄₁ = 91 mmσ₁ = 10 mmn₂ = 80x̄₂ = 96,9 mmσ₂ = 15 mm
z =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Klinikiniame tyrime pasveiksta 20 iš 100 pacientų, gydytų A būdu, ir 83 iš 250 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 20n₁ = 100x₂ = 83n₂ = 250
z =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 60?
n = 6ŷ = 60
x =
3Tirpalai
1.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 8,563
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 147/7 = 21
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = (−11)² + (−5)² + (−2)² + 8² + 9² + 9² + (−8)² = 440
Standartinis nuokrypis
s = √(440/6) = 8,563
Atsakymas
s = 8,563
2.Aprašomoji statistika
Atsakymas: z = 1
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (112 − 100)/12 = 1
Atsakymas
z = 1
3.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 0,6475
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75
Dispersija
Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475
Atsakymas
Var(X) = 0,6475
4.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,01884
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nulis ir vienas gedimas
P(X = 0) = 0,47 = 0,001638
P(X = 1) = 7·0,6·0,46 = 0,0172
Sudėkite
P = 0,001638 + 0,0172 = 0,01884
Atsakymas
P = 0,01884
5.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,7233
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (55,5 − 65)/10 = −0,95
z₂ = (77,5 − 65)/10 = 1,25
Plotas tarp
P = Φ(1,25) − Φ(−0,95) = 0,8944 − 0,1711 = 0,7233
Atsakymas
P = 0,7233
6.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 179,8 cm
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,6
z iš lentelės
z ≈ 0,25
Atgal į pradinius vienetus
x = 178 + 0,25·7 = 179,8 cm
Atsakymas
x = 179,8 cm
7.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = −5,858 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 9, t = 3,25
Paklaidos riba
E = 3,25·1,5/√10 = 1,542
Intervalas
−7,4 ± 1,542 → [−8,942, −5,858]
Atsakymas
viršutinis rėžis = −5,858 mmHg
8.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 2,489 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 14·3,4² = 161,8
σ² rėžiai
161,8/26,119 = 6,196
161,8/5,629 = 28,75
σ rėžis
σ = √6,196 = 2,489 µm
Atsakymas
σ = 2,489 µm
σ 95 % intervalas: [2,489, 5,362] µm.
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = −2,788
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Skirtumo standartinė paklaida
SE = √(10²/60 + 15²/80) = √4,479 = 2,116
Testo statistika
z = (91 − 96,9)/2,116 = −2,788
Atsakymas
z = −2,788
|z| > 1,96, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = −2,448
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Imčių dalys
p̂₁ = 20/100 = 0,2
p̂₂ = 83/250 = 0,332
p̂ = 103/350 = 0,2943
Standartinė paklaida pagal H₀
SE = √(0,2943·0,7057·(1/100 + 1/250)) = 0,05392
Testo statistika
z = (0,2 − 0,332)/0,05392 = −2,448
Atsakymas
z = −2,448
|z| > 1,96, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
11.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9221
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 77/5 = 15,4
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29
Syy = Σ(y − ȳ)² = 91,2
Determinacijos koeficientas
r² = −29²/(10·91,2) = 0,9221
Atsakymas
r² = 0,9221
Apie 92,21% y kitimo paaiškinama tiese.
12.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 3,528
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 390/6 = 65
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 90
Regresijos tiesė
b = 90/17,5 = 5,143
a = 65 − 5,143·4,5 = 41,86
ŷ = 41,86 + 5,143·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (60 − 41,86)/5,143 = 3,528
Atsakymas
x = 3,528
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1